常用校驗碼（奇偶校驗，海明校驗，CRC）學習總結
常用校驗碼（奇偶校驗，海明校驗，CRC）學習總結
一.為什麽要有校驗碼？
因為在數據存取和傳送的過程中，由於元器件或者噪音的幹擾等原因會出現錯誤，這個時候我們就需要采取相應的措施，發現並糾正錯誤，對於錯誤的檢測和校正，大多采取“冗余校驗”的思想，即除原數據外，額外增加若幹位編碼，這些新增的代碼稱為校驗位。
二.數據是如何校驗的？
- 輸入的數據m經過f得到p校驗位。
- 數據m和校驗位一起通過存儲器或傳輸線路，分別得到m‘和p‘，這兩者可能和m,f相同，也可能由於傳輸儲存發生問題而不同。
- 由數據m‘再次經過f得到校驗位p‘‘，比較p‘‘和p‘，從而得出是否出錯，輸出對應的信息，如何比較，會在下面的對應校驗碼中給出。
三.碼距
若幹位代碼組成的一個字稱為碼字，而兩個碼字具有不同代碼的位數為這兩個碼字的距離，而碼制裏各種碼字間最小的距離稱為碼距。
比如8421碼，1001和0000，有兩位不同，所以距離是2，而0010和0011的距離為1，是最小的距離，故8421碼碼距為1
那麽，碼距有什麽用呢？答案是碼距和這種類型的碼的檢錯，糾錯能力有關。
如8421碼，由於碼距是1，無檢錯，糾錯能力，比如數據0000，如果其中一位變化，變成0001，那麽，這個數據仍然是合法的。
再如奇偶校驗碼中奇校驗碼，如100000000和010000000，碼距為2，我們可以發現，如果數據中有一位變化了，如100000000變為110000000，我們可以很容易地判斷出數據出錯了，因為110000000不符合奇校驗的編碼（校驗位和數據位一起所含1的個數為奇數）
我們可以發現，校驗碼可以幫助擴大碼距，從而找出錯誤。
碼距與檢錯、糾錯能力的關系（當d≤4）
- 若碼距d為奇數，則能發現d-1位錯，或能糾正(d-1)/2位錯。
- 若碼距d為偶數，則能發現d/2位錯，並能糾正(d/2-1)位錯。
四.奇偶校驗碼
1.編碼方式
- 無論數據位多少位，校驗位只有一位
- 數據位和校驗位一共所含的1個數為奇數，稱為奇校驗
- 數據位和校驗位一共所含的1個數為偶數，稱為偶校驗
例如（加粗為校驗位）：
| 數據 | 奇校驗的編碼 | 偶校驗的編碼 |
|---|---|---|
| 00000000 | 100000000 | 000000000 |
| 01010100 | 001010100 | 101010100 |
| 01111111 | 001111111 | 101111111 |
由於數據傳輸過程一般是出現一位錯誤，而奇偶校驗碼能發現奇數個錯誤，所以奇偶校驗的實用價值還是很高的。
2.實現原理
那麽，奇偶校驗是怎麽來發現錯誤的呢？根據二.數據是如何校驗的我們可以知道，在數據傳輸之前，我們會求一次校驗位，傳輸後，會求一次校驗位，那麽，在奇偶校驗中，我們通過比較這兩個校驗位是否相同，一般是采用異或的方式，若結果為1，則說明有奇數個錯誤，結果為0，則說明正確或者偶數個錯誤。
五.海明校驗碼
1.引入
- 在了解了奇偶校驗碼之後，我們可以稍稍做下思考，既然奇偶校驗碼具有一定的局限性，也就是只能檢測奇數的錯誤，並且不能改正錯誤，這也就意味著數據一旦傳輸錯誤，我們必須要重新上傳，那麽，我們有辦法確定錯誤發生的位置麽？只要確定了錯誤發生的位置，改正其實就是取反。
- 這個時候，讓我們來看看奇偶校驗碼，它是在數據的前面或者後面加上以為校驗位，那麽，如果我們將數據分段，分成某些小段，這樣是不是能判斷錯誤發生的位置呢？
2.海明校驗碼 最簡單求法
我們以8位數據位，4（5）位校驗位為例
我們將海明校驗碼表示為(H13) H12 H11 H10 H9 H8 H7 H6 H5 H4 H3 H2 H1
其中加粗的部分為校驗位，校驗位所在位置為2^（i-1），i=1,2,3...
我們還可以把它寫成（P5） D8 D7 D6 D5 P4 D4 D3 D2 P3 D1 P2 P1
其中P代表的是校驗位，D代表數據位
| 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | S | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2^0 | D7 | D5 | D4 | D2 | D1 | P1 | S1 | ||||||
| 2^1 | D7 | D6 | D4 | D3 | D1 | P2 | S2 | ||||||
| 2^2 | D8 | D4 | D3 | D2 | P3 | S3 | |||||||
| 2^3 | D8 | D7 | D6 | D5 | P4 | S4 |
我們來看看這個表是怎麽畫出來的
- 首先數據位和校驗位的位置我們通過公式可以得出
- 同列數據位所占的位置對應的行的值之和為列的值。舉個例子，如D1,所在列為3，所在行分別為2^0和2^1，即1和2,滿足式子1+2=3。
校驗位的值為同行數據位相異或得到，至於P5，則是由所有數據位和校驗位一起異或得到。
3.海明校驗碼判斷修復錯誤
下面引入一個錯誤字S的概念
其實錯誤字S也就是傳輸前後分別求的校驗位的異或值，奇偶校驗碼只要看一個錯誤字，而海明校驗碼則要考慮多個錯誤字。
S4 ~ S1為全0,說明沒錯. S4 ~ S1不為全0,說明有錯. S5=1說明1位出錯,而S5=0說明2位錯，不再有效，且不能查出是哪2位出錯。
S4~S1的編碼值對應的則是出錯的海明碼位號（不太清楚圖表可以返回上面的表格對照）：
如1100，對應D8出錯
如1011，對應D7出錯
如1010，對應D6出錯
如1001，對應D5出錯......
- Tip：我們通過觀察8個數據位4個校驗位的海明校驗碼，發現，若一位出錯，則至少有兩組校驗碼的生成收到影響，故我們得到其碼距為3，根據碼距與檢錯、糾錯能力的關系可以得出該校驗碼能發現兩位錯，或修改一位錯。
4.校驗碼位數的確定
前面看完後，一定有人會有疑問，為什麽八位數據位我要四位或者五位校驗位，三位不行麽？六位不行麽？那麽，請繼續看看下面
假定數據位數為n，校驗碼為k位，則故障字位數也為k位。k位故障字所能表示的狀態最多是2K，每種狀態可用來說明一種出錯情況。
若只有一位錯，則結果可能是：
數據中某一位錯 (n種可能)
校驗碼中有一位錯 (k種可能)
無錯 ( 1 種可能)
假定最多有一位錯，則n和k必須滿足下列關系：
2^k≥1+n+k， 即：2^k-1≥n+k
所以當數據有8位時，校驗碼和故障字都應有至少4位。
六.循環冗余碼（CRC碼）
1.為什麽大批量數據不用奇偶校驗？
在每個字符後增加一位校驗位會增加大量的額外開銷；尤其在網絡通信中，對傳輸的二進制比特流沒有必要再分解成一個個字符，因而無法采用奇偶校驗碼。
2.模2運算
在介紹CRC碼之前，有必要介紹下計算CRC碼必要的模2運算：
模2運算不考慮加法進位和減法借位，上商的原則是當部分余數首位是１時商取１，反之商取0。然後按模2相減原則求得最高位後面幾位的余數。這樣當被除數逐步除完時，最後的余數位數比除數少一位。這樣得到的余數就是校驗位。
3.基本思想
- 數據信息M(x)為一個n位的二進制數據，將M(x)左移k位後，用一個約定的“生成多項式”G(x)相除，G(x)是一個k+1位的二進制數，相除後得到的k位余數就是校驗位。校驗位拼接到M(x)後，形成一個n+k位的代碼，稱該代碼為循環冗余校驗 ( CRC ) 碼，也稱（n+k,n）碼。
- 一個CRC碼一定能被生成多項式整除，當數據和校驗位一起送到接受端後，只要將接受到的數據和校驗位用同樣的生成多項式相除，如果正好除盡，表明沒有發生錯誤；若除不盡，則表明某些數據位發生了錯誤。通常要求重傳一次。
4.CRC碼求法
5.CRC碼檢錯
將收到的CRC碼用約定的生成多項式G(x)去除,如果碼字無誤則余數應位0,如果有某一位出錯,則余數不為0,不同位數出錯余數不同.
常用校驗碼（奇偶校驗，海明校驗，CRC）學習總結