1. 演算法描述

Dijkstra演算法是圖論中常用的一個演算法，用於計算圖中從一個指定點到其餘所有點的最短路徑。圖是有向圖，所有邊的權重為非負數，圖1是滿足條件的一個簡單有向圖。

圖1 有向加權圖示例

在圖1中，A到D的最短路徑是A-->C-->B-->D，其長度為3+2+5=10。

其演算法實現程式碼如下（資料結構與演算法分析C++版）：

void Dijkstra(Graph *G, int *D, int s){
  int i, v, w;

  for(i = 0; i < G->n(); i++){
    D[i] = INFINITY;
  }
  D[0] = 0;
  for(i = 0; i < G->n(); i++){
    v = minVertex(G, D);
    if(D[v] == INFINITY)
      return;
    G->setMark(v, VISITED);
    for(w = G->first(v); w < G->n(); w = G->next(v, w))
      if(D[w] > (D[v] + G->weight(v,w)))
        D[w] = D[v] + G->weight(v, w);
  }
}

int minVertex(Graph *G, int *D){
  int i, v=-1;

  for(i = 0; i < G->n(); i++){
    if(G->getMark(i) == UNVISITED){
      v = i;
      break;
    }
  }
  for(i++; i < G->n(); i++){
    if((G->getMark(i) == UNVISITED) && (D[i] < D[v]))
    v = i;
  }
  return v;
}
 

演算法中的每個結點使用整數表示，陣列D[ ]定義了從出發點s到每個點v的最短路徑，被初始化為INFINITY。另外，每個結點還有一個標識（Mark），通過函式setMark和getMark來設定和讀取。標識具有兩種狀態：VISITED和UNVISITED。演算法的工作步驟被描述如下：

1. 把所有結點的標識都設為UNVISITED，距離設為INFINIT。

2. 把出發點s的距離設定為0，狀態設定為VISITED。

3. 從圖中所有UNVISITED的點中選擇距離最小的結點v。

4. 設定v的狀態為VISITED。

5. 用v來更新其相鄰結點。若某相鄰結點u的當前距離D[u] > D[v] + weight(v, u)，則把u的距離D[u]更新為D[v] + weight(v, u)。

6. 重複3到5步的操作，直到所有結點狀態都被設定為VISITED。

以圖1為例，演算法的計算過程為：

1. D[A] = 0。

2. 選擇D[A]為距離最小的結點，設其狀態為VISITED；更新D[B] = 10, D[C] = 3, D[D] = 20。

3. 選擇D[C]為距離最小的結點，設其狀態為VISITED；更新D[B] = D[C] + weight(C, B) = 3 + 2 = 5, D[E] = D[C] + weight(C, E) = 3 + 15 =18。

4. 選擇D[B]為距離最小的結點，設其狀態為VISITED；更新D[D] = D[B] + weight(B, D) = 5 + 5 = 10。

5. 選擇D[D]為距離最小的結點，設其狀態為VISITED；與D相連的結點E的距離D[E] = 18，小於D[D] + weight(D, E) = 10 + 11 = 21，所以不需要更新。

6. 選擇D[D]為距離最小的結點，設其狀態為VISITED；沒有相連的點，所以不需要更新。

所以最終每個點的最小距離為D[A] = 0; D[B] = 5]; D[C] = 3]; D[D] = 10; D[E] = 18.

2. 演算法正確性證明

上一節描述的Dijkstra演算法把圖中的結點分為兩個部分，分別標記為VISITED和UNVISITED，使用S和V-S來表示。為證明的方便，區分了S和V-S中的點的距離函式，分別為D和D_est，V-S中的距離函式被稱為估值函式。演算法的主要操作是迴圈執行第3到5步。證明演算法的正確性，可以通過證明每次迴圈執行之前，S和V-S中的結點滿足以下3條屬性，執行之後依然滿足。

屬性1. S中任意m的點的的路徑長度D[m]就是其最短路徑。

也就是說，對於V-S中的任意結點n，其估值路徑D_est[n]是其只通過S中結點的最短路徑。

屬性3. V-S中估值最小的點n，D_est[n]的值就是其最短路徑。

演算法第一步S={s}，只包含出發結點，且D[s]=0，故而滿足屬性1，更新相鄰結點之後，容易證明，也滿足屬性2。屬性3則需要證明，過程如下。

證明：假設D_est[n]不是n的最短路徑，因為D_est是隻通過S中結點的最短路徑，所以結點n的真實的最短路徑必然會經過集合S之外的結點，設路徑上第一個非S中的點為j。則真實的最短路徑的形式為s->...->j->...->n。因為假設了j之前的點都是S中的，所以根據屬性2，D_est[j] < =D[n] < D_est[n]，與n是估值最小的結點矛盾，所以屬性成立。

演算法接下來的操作是把n加入S，並試圖更新V-S中結點的距離估值，容易證明，3-5步的一次操作之後，屬性1-3仍然滿足，所以得證。