最近複習重新學習了一下FWT，然後做了一些亂七八糟的題目。。
注:下文中的 $\oplus$表示異或符號, $\cap$代表按位與， $\cup$

順便提一下 $O(n^2{2}^n$

HDU5909 Tree Cutting

HDU

對於一個選擇方案，我們僅在深度最小的那個節點上計算。設 $f[i][x]$表示i號節點上，異或和為x的方案數。不難得到轉移方程：
$f[u][i]=\sum_{j\oplus k}f[u][j]*f[v][k]$
用fwt優化之。
時間複雜度 $O(nv\log v)$

BZOJ4589 Hard Nim

BZOJ

不難想到用 $f[x]$表示局面異或和為x的方案數，每堆石子都是等價的，所以就是n次方，快速冪即可
時間複雜度 $O(m\log m\log n)$

Codeforces 662C*

Codeforces

一道還挺有意思的題。注意到n很小，所以考慮把每一列上的數狀壓成一個整數。如果我們枚舉了一個行的異或方案，那麼每一列上就有唯一確定的權值，即要麼全選0，要麼全選1。考慮一個行的異或方案，就相當於是把每一列xor上一個數。那麼我們可以構造 $a_i$表示有多少條列的狀態為 $i$, $b_i$表示狀態i的最小代價。

$ans(s)=\sum_{i\oplus s=j} a_ib_j$
由於異或滿足交換律，那麼有
$ans(s)=\sum_{i\oplus j=s} a_ib_j$
用fwt優化之，時間複雜度 $O(n2^n)$

HAOI2015 按位或

BZOJ

首先要說明的一點是我們一般用 $\overline S$來表示S的補集。
可以考慮min-max容斥，然後我們要求的就是 $A[S]=\sum_{S\cap T} P[T]$
但是這個不好限制轉化一下，考慮到 $\sum P[S]=1$，那麼就有 $A[S]=1-\sum_{T\subseteq \overline S} P[T]$。後面的做一遍高維字首和即可
時間複雜度 $O(n2^n)$

SPOJ kosare

鑑於spoj老掛，所以洛谷

用 $F[S]$表示選取的盒子並起來是S的子集的方案數，那麼就可以子集反演得到恰好為S的子集的方案數。
設 $f[S]$為盒子為S的子集的方案數， $F[s]=2^{f[S]}-1$， $f$用高維字首和搞一搞即可。
由於最後只詢問一個值，可以不必做子集反演，可以 $O(n)$地掃一遍。
時間複雜度 $O(m2^m+n)$

SPOJ TLE

洛谷

用 $f[x]$表示考慮了前i個且以x結尾的方案數。不難得到轉移方程
$f[i]=\sum_{i\cap j=0} f[j]=\sum_{j\subseteq \overline i} f[j]$
每次轉移完暴力清空掉 $c[i]$倍數的方案即可。
時間複雜度 $O(nm2^m+nm)$

hihocoder1496 尋找最大值*

hihocoder

一道還挺有意思的題目，可以考慮列舉 $i\cap j$的值 $k$，那麼我們就需要知道最優的 $i,j$，那麼當然是選最大的。
因為我們難以保證 $i\cap j=k$，不妨放縮條件，維護 $k$的超集中的最大和次大值。這樣顯然不會漏掉最大值，而也不可能有一個不合法的解超過最優值，因為這個不合法的解的 $k$肯定偏小，那麼必定存在一個相應的合法的解比它更大。
列舉超集用高維字首和解決。
時間複雜度 $O(v\log v)$