尤拉降冪公式的證明

尤拉降冪公式與證明

A^{K} \equiv A^{K % ϕ (m) + ϕ (m)} (m o d m) K > ϕ (m)

今天在牛客多校的群裡看一個數學大佬寫的證明，不過是拍照，我決定動手自己寫一下

A^{K} \equiv A^{K % ϕ (m) + ϕ (m)} (m o d m) K > ϕ (m) (1)

證明如下
1 若 $(A, m) = 1$ ，根據尤拉定理 $A^{ϕ (m)} \equiv 1 (m o d m)$ ,即可輕易得證
2 若 $(A, m) \neq 1$ ,證明如下
設 $K = a * ϕ (m) + c$

K = a * ϕ (m) + c

a \geq 1, 0 \leq c < ϕ (m)

那麼尤拉降冪公式就是

A^{K} \equiv A^{a * ϕ (m) + c} \equiv A^{ϕ (m) + c} (m o d m) (2)

即證

A^{a * ϕ (m)} \equiv A^{ϕ (m)} (m o d m)

即證

A^{2 * ϕ (m)} \equiv A^{ϕ (m)} (m o d m)

移項

A^{ϕ (m)} (A^{ϕ (m)} - 1) \equiv 0 (m o d m)

即證

m | A^{ϕ (m)} (A^{ϕ (m)} - 1) (3)

若有

(\frac{m}{(m, A^{ϕ (m)})}, A) = 1 (4)

根據尤拉定理

A^{ϕ (m)} \equiv A^{k * ϕ (\frac{m}{(m, A^{ϕ (m)})})} \equiv {(A^{ϕ (\frac{m}{(m, A^{ϕ (m)})})})}^{k} \equiv 1 (m o d (\frac{m}{(m, A^{ϕ (m)})})