資料結構基礎（五）圖以及DFS、BFS
阿新 • • 發佈：2019-01-05
概念
定義
圖是一種較線性表和樹更為複雜的資料結構
相較於線性表的一對一（每個結點只有一個前驅後驅）和樹的一對多（層級結構，上層結點可以與多個下層結點相關），圖形結構的元素關係是多對多（即結點之間的關係可以是任意的）
圖可分為有向圖和無向圖
術語
連通圖：對於無向圖，如果任意兩個結點之間都是通的，則稱之為連通圖
連通分量：對於無向非連通圖，極大連通子圖稱為其連通分量
強連通圖：對於有向圖，任意兩個結點有路徑，則稱之為強連通圖
強連通分量：對於有向圖非連通圖，極大連通子圖稱為其強連通分量
連通圖的生成樹：該圖的極小連通子圖，它含有圖中全部n個頂點和只有足以構成一棵樹的n-1條邊，稱為圖的生成樹
例如上圖a中無向圖G3，圖b便為其三個連通分量
上圖為連通分量圖的生成樹
圖的儲存結構
圖的常用的儲存結構有：鄰接矩陣、鄰接連結串列、十字連結串列、鄰接多重表和邊表，其中鄰接矩陣和鄰接連結串列是較常用的表示方法。
鄰接矩陣
即用一維陣列放置其頂點，二維陣列放置頂點之間的關係
例如對於無向圖，A[i][j]=0表示i結點和j結點之間不連通，A[i][j]=1表示連通；對於有向圖，A[i][j]表示i結點和j結點之間的權值。
該二維陣列又稱為鄰接矩陣
鄰接連結串列
即用一個數組儲存所有頂點，而每個頂點有一個域指向一個單鏈表，該單鏈表儲存該頂點所有鄰接頂點及其相關資訊。
如上圖，頭結點（頂點）中data儲存該頂點相關資訊，firstarc儲存單鏈表第一個結點的位置；
表結點（連結串列結點）中adjvex儲存該領接頂點位置，nextarc儲存連結串列下一個結點位置，info儲存邊相關資訊（例如有向圖中的權值）
下圖為鄰接連結串列的圖解
實現程式碼
給出手動實現的鄰接矩陣程式碼：
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;
/**
* 弧
*/
class Arc{
//弧連線的兩個頂點
Object v1,v2;
//圖：-1 無連線 >=0有連線 圖的遍歷
圖的遍歷有兩種：DFS（Deep First Search）和BFS（Breadth First Search）
這兩個演算法算是我在ACM呆的時候做題最多的演算法了。
DFS（深度優先演算法）
即每次遍歷時偏向縱深方向搜尋，類似樹的先序遍歷，可用遞迴或者棧實現。
遞迴實現：
1. 訪問頂點v；visited[v]=1；//演算法執行前visited[n]=0
2. w=頂點v的第一個鄰接點；
3. while（w存在）
if（w未被訪問）
從頂點w出發遞迴執行該演算法；
w=頂點v的下一個鄰接點；棧實現：
1. 棧S初始化；visited[n]=0；
2. 訪問頂點v；visited[v]=1；頂點v入棧S
3. while(棧S非空)
x=棧S的頂元素(不出棧)；
if(存在並找到未被訪問的x的鄰接點w)
訪問w；visited[w]=1；
w進棧;
else
x出棧；BFS（廣度優先演算法）
即每次遍歷時分層搜尋，先搜尋完每個頂點的領接結點，再對領接結點重複這一步。可用佇列實現
佇列實現
1. 初始化佇列Q；visited[n]=0；
2. 訪問頂點v；visited[v]=1；頂點v入佇列Q；
3. while（佇列Q非空）
v=佇列Q的對頭元素出隊；
w=頂點v的第一個鄰接點；
while（w存在）
如果w未訪問，則訪問頂點w；
visited[w]=1；
頂點w入佇列Q；
w=頂點v的下一個鄰接點。
下面是兩種遍歷的具體程式碼
/**
* 深度優先遍歷
* @param o
* @return
*/
public String dfs(Object o) {
StringBuilder result=new StringBuilder();
Stack<Object> stack=new Stack<Object>();
//訪問標記陣列
Boolean[] visit=new Boolean[vertexs.size()];
//初始化所有頂點為未訪問
for (int i = 0; i < visit.length; i++) {
visit[i]=false;
}
//放入起始結點入棧
stack.push(o);
visit[vertexs.indexOf(o)]=true;
result.append(o);
//利用棧進行深度優先遍歷
while (!stack.isEmpty()) {
//訪問棧的頂點
Object out=stack.peek();
Object next=getNext(out, visit);
if(next!=null){
stack.push(next);
visit[vertexs.indexOf(next)]=true;
result.append("->"+next);
}
else{
stack.pop();
}
}
return result.toString();
}
/**
* 廣度優先遍歷
* @param o
* @return
*/
public String bfs(Object o) {
StringBuilder result = new StringBuilder();
Queue queue = new LinkedList<Object>();
// 訪問標記陣列
Boolean[] visit = new Boolean[vertexs.size()];
// 初始化所有頂點為未訪問
for (int i = 0; i < visit.length; i++) {
visit[i] = false;
}
//放入起始結點入佇列
queue.add(o);
visit[vertexs.indexOf(o)]=true;
result.append(o);
//利用佇列進行廣度優先遍歷
while (!queue.isEmpty()) {
//訪問堆頂點
Object out=queue.peek();
Object next=getNext(out, visit);
if(next!=null){
queue.add(next);
visit[vertexs.indexOf(next)]=true;
result.append("->"+next);
}else{
queue.poll();
}
}
return result.toString();
}
/**
* 獲取o結點的下一個未被訪問的領接結點
* @param o
* @param visit
* @return
*/
private Object getNext(Object o,Boolean[] visit){
int index=vertexs.indexOf(o);
for (int j = 0; j < arcs.length; j++) {
if(arcs[index][j]!=null&&visit[j]==false)
return vertexs.get(j);
}
return null;
}