在做SLAM研究的時候，會涉及到對旋轉矩陣求導的問題。然而矩陣求導中多個變換矩陣相加問題很難解決，這時候需要使用矩陣李群的知識，將旋轉或者變換等矩陣李群形式，對映到李代數上求解。

李群和李代數

群的概念：群（Group）是一種集合加上一種運算的代數結構。

記集合為A，運算為 · ，那麼當運算滿足以下性質時，稱 (A, · )成群：

我們可以根據群的概念驗證得到：

（1）旋轉矩陣集合與矩陣乘法構成群

（2）變換矩陣集合與矩陣乘法構成群

在SLAM當中，我們常用到的群一般有特殊正交群和特殊歐氏群兩種

李群

李群主要是指：

具有連續（光滑）性質的群。既是群也是流形。

直觀上看，一個剛體能夠連續地在空間中運動，故SO(3)和SE(3)都是李群。

但是，SO(3)和SE(3)只有定義良好的乘法，沒有加法，所以難以進行取極限、求導等操作。所以我們引出了李代數的概念。

李代數

李代數：與李群對應的一種結構，位於向量空間。事實上是李群單位元處的正切空間。

我們通過旋轉矩陣來引出李代數，考慮任意旋轉矩陣R，滿足

令R隨時間變化（連續運動），有：

兩側對時間求導，可得：

整理可得：

可以看出，這是一個反對稱矩陣，記為：

兩側右乘R(t)：

可以認為，對R求導後，左側多出一個∅(t)

單位元附近展開，

可見∅反映了一階導數性質，它位於正切空間（tangent space）上，在t0附近，假設∅不變，有微分方程：

已知初始情況：R(0)=I ，解之，得：

上式說明，對任意t，都可以找到一個R和一個的∅

在這裡這個∅稱為SO(3)對應的李代數：so(3)

現在，我們來定義一下李代數：

其中二元運算[,]被稱為李括號，直觀上說，李括號表達了兩個元素的差異。

對於每個李群，都有與之對應的李代數，李代數描述了李群單位元附件的正切空間性質。

那麼對於李代數so(3)，我們可以定義

其中

李括號內的運算為：

同理可得，SE(3)亦有李代數se(3)

指數對映和對數對映

指數對映反映了從李代數到李群的對應關係

但是ϕ^是一個矩陣，對於矩陣，如何定義求指數運算？

由於ϕ^是向量，定義其角度和模長可得：

然後對exp(ϕ^)泰勒展開可得：

整理：

而在旋轉矩陣中羅德里格斯公式即這個公式，所以，我們可以認為so(3) 的物理意義就是旋轉向量。

反之，給定旋轉矩陣時，亦能求李代數：

稱為對數對映

但實際當中沒必要這樣求，矩陣到向量的轉換關係可以由矩陣的跡得到

在此我們已經得出了李群和李代數的對應關係，下面總結一下在SO(3)和SE(3)中的對應關係。

李代數求導與擾動模型

我們瞭解到李群跟李代數的對應關係之後，我們回到最初的問題中來，當初就是考慮到旋轉矩陣沒有加法，所以我們無法定義導數，那麼，現在我們該怎麼定義導數模型呢？

我們假想，當在李代數中做加法時，是否等價於在李群上做乘法呢？ 即：

在使用標量的時候，該式明顯成立，然而這兒ϕ^是個矩陣，我們可以使用BCH公式近似：

其中方括號為李括號。

可以得到，當其中一個量為小量時，忽略其高階項，BCH具有線性近似形式

這裡有左雅克比為

右雅克比為：

所以，以左乘為例，即在李群上左乘小量時，李代數上的加法相差左雅可比的逆

同樣，李代數上進行小量加法時，相當於李群上左（右）乘一個帶左（右）雅可比的量

SE(3)比SO(3)更復雜：

因為在使用過程中用到的不多，所以暫時不展開討論。

綜上：通過BCH線性近似，可以定義李代數上的導數，旋轉後的點關於旋轉的導數可以不嚴謹地記為：

由於R沒有加法，導數無從定義，所以存在兩種解決辦法：

1.對 R 對應的李代數加上小量，求相對於小量的變化率（導數模型）；

2.對 R 左乘或右乘一個小量，求相對於小量的李代數的變化率（擾動模型）。

對於導數模型，有：

由於雅克比矩陣比較不好運算，考慮擾動模型，

本文主要參考高翔博士的視覺SLAM十四講以及他在深藍學院的講課講義