寫在前面

“模板庫”這一系列文章用來複習 $OI$模板
由於時間原因，作者無法一一親自除錯其中的程式，也因如此，有一部分程式來自於網際網路，如果您覺得這侵犯了您的合法權益，請聯絡 $(Q$

動態規劃

簡單線性動態規劃

LIS(最長上升子序列)

【簡介】

最長上升子序列( $Long$

【程式碼實現】

樸素方法

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int n,a[5001],f[5001]={0,1},ans;
int main(){
    scanf("%d",&n); 
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),f[i]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<i;j++)
            if(a[j]<a[i])f[i]=max(f[i],f[j]+1);
        ans=max(ans,f[i]);
    }
    printf("%d",ans);
    return 0; 
} 

複雜度 $Θ(n^2)$

貪心實現

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,f[1000001],len,x; 
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&x);
    f[++len]=x;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        scanf("%d",&x);
        if(x>f[len]) f[++len]=x;
        else f[lower_bound(f+1,f+len+1,x)-f]=x;
    }
    printf("%d",len);
    return 0;
}

複雜度 $Θ(n$ $logn)$

LCS(最長公共子序列)

【簡介】

$LCS$是 $Longest$ $Common$ $Subsequence$的縮寫，即最長公共子序列。一個序列，如果是兩個或多個已知序列的子序列，且是所有子序列中最長的，則為最長公共子序列。

【程式碼實現】

樸素做法

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,a[1007],b[1007],dp[1007][1007];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&b[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<=n;j++)
        if(a[i]==b[j]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);
        else f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
    printf("%d",f[n][n]);
    return 0;
}

複雜度 $Θ(n^2)$

利用 $LIS$優化

#include<iostream>
#include<ctype.h>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int read(){
	int x=0,f=0;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))f|=ch=='-',ch=getchar();
	while(isdigit(ch))x=x*10+(ch^48),ch=getchar();
	return f?-x:x;
}
int a,b[100007],Transformation[1000007],f[1000007];
int main(){
	int n=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)a=read(),Transformation[a]=i;
	for(int i=1;i<=n;++i)b[i]=read(),b[i]=Transformation[b[i]];
	int o=1;
	f[o]=b[o];
	for(int i=2;i<=n;++i){
		if(b[i]>f[o])f[++o]=b[i];
		else f[upper_bound(f+1,f+o+1,b[i])-f]=b[i];
	}
	cout<<o;
	return 0;
}

複雜度 $Θ(n$ $logn)$

LCIS(最長公共上升子序列)

【簡介】

給定兩個整數序列，求它們的最長上升公共子序列。

//Cogs 1669神祕的咒語
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<ctype.h>
#include<cstring>
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,f=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))f|=ch=='-',ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=x*10+(ch^48),ch=getchar();
    return f?-x:x;
}
int a[507],b[507],f[507];
int main(){
	freopen("codes.in","r",stdin);
	freopen("codes.out","w",stdout);
    int T=read();
    while(T--){
    	memset(f,0,sizeof f);
		int n=read(),ans=0;
		for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read();
		int m=read();
		for(int i=1;i<=m;++i)b[i]=read();
		for(int i=1;i<=n;++i){
			int Max=0;
			for(int j=1;j<=m;++j){
				if(a[i]>b[j])Max=max(Max,f[j]);
				if(a[i]==b[j])f[j]=Max+1;
			}
		}
		for(int i=1;i<=m;++i)ans=max(ans,f[i]);
	    printf("%d\n",ans);
	}
	fclose(stdin);fclose(stdout);
    return 0;
}

複雜度 $Θ(n^2)$

最大子段和問題

【簡介】

給定 $n$個整數（可能為負數）組成的序列 $a_1,a_2,a_3,…,a_n$求該序列如 $a_i+a_{i+1}+…+a_j$的子段和的最大值。當所給的整數均為負數時定義子段和為 $0$，依此定義，所求的最優值為:
$Max\{0,a_i+a_{i+1}+\dots +a_j\},1\<=i\<=j\<$