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1. 簡介
2. 思路
3. 高斯案例
4. 黑白影象應用實驗
5. 彩色影象應用例項
6. 參考論文

簡介 濾波也許可以說是影象處理和計算機視覺最基礎的操作。術語”濾波“最寬泛的理解，即濾波後的影象在某一指定位置的畫素值是輸入影象在同一位置的某鄰域內的所有畫素值的函式。例如，高斯低通濾波計算這個鄰域內所有畫素值的一個權重平均值，其中權重隨著距離鄰域中心越遠而減小。雖然權重下降的正式和定量解釋容易獲知，但是直覺是影象在尺度空間上的變化將是非常緩慢的，因此相鄰的畫素將會擁有接近的值，並且這種操作近似於平均他們自身。破壞鄰域內畫素值的噪聲與訊號的互相關性是極低的，所以這種操作給在保留訊號的同時去除噪聲。 較弱的空間變化的假定將會在邊緣處失效，這是由於邊緣也被線性低通濾波模糊了。我們如何在平均平滑區域的同時而防止跨越邊緣的平均呢？在減少這個不期望的效應方面已有許多工作。 雙邊濾波器是一個邊緣保留平滑的簡單的、非迭代的的方案。 思路 雙邊濾波器最基礎的想法是在傳統濾波器處理影象空域的同時處理影象的畫素值域。以一個有意義的感知方式來理解，兩個畫素若佔據相鄰的空間位置，則被稱之為彼此相近，若具有相鄰的畫素值，則被稱之為相似。 考慮一個應用於影象的具有移位不變性的低通空域濾波器：
黑體f和h表示強調輸入和輸出影象都是多頻帶的。為了保留直流分量，可以得到
範圍濾波器類似定義：
在這種情況下，上面的核測量畫素間的光度測定的相似性。歸一化的常量為
影象密度的空間分佈在範圍濾波中不起任何作用。然而，組合整幅影象的密度將是無意義的，因為遠離位置x的影象值不應該影響位置x的最終值。額外的，不含空域濾波的範圍濾波將僅僅影響影象的顏色表，因此極少使用。近似的解決方案是組合空域和範圍濾波器，從而強制執行幾何度量和光學度量區域。 組合濾波器可被表示為：
歸一化
組合的空域和範圍濾波器被表示為雙邊濾波器。它使用位置x的相似和相近畫素值的平均值來替代原值。在平滑區域，小鄰域內的畫素值都是互相似的，這時雙邊濾波器等同於一個標準的空域濾波器，平滑掉那些由於噪聲引起的弱相關值。 考慮一個在黑色區域和白色區域間的強的邊緣，如圖1(a)     
                         (a)                                                     (b)                                                                  (c)                                                                                                               圖1 當雙邊濾波器位於中心時，由上圖可知，在邊界白色的一邊，相似函式s假定靠近同一邊的畫素值接近於1，而靠近黑色一邊的畫素值接近於0。圖1(b)中的相似函式表示一個23x23的濾波器支援中心兩上畫素在圖1(a)的右邊。歸一化函式k(x)保證所有畫素的權重之各為1。結果，濾波器使用鄰域內的白色值的平均值替代中心處的白色畫素，同時忽略黑色畫素。相反的，當濾波器中心位於黑色畫素時，白色畫素將會被忽略。如圖1(c)展示的那樣，好的濾波行為由於空域濾波將會在邊界處實現，同時由於範圍濾波鮮明的邊緣同時會被保留。 高斯案例 雙邊濾波器的一個簡單且非常重要的例子就是移位不變性的高斯濾波器，其中相近函式c和相似函式s都是引數的歐式距離的高斯函式。特別的，c是對稱的：
其中
是歐幾里德距離。相似函式s非常類似於c：
其中
在密度空間上是一個合適的距離測量方法。在標量的情況下，這也許是畫素的簡單的差的絕對值，或者由於隨著密度的增加噪聲也會增加，它的一個密度相關的版本。就像空域濾波器是移位不變性一樣，上面介紹的高斯範圍濾波器在影象密度的增量變化情況下是不敏感的。當然，範圍濾波器也具有移位不變性。 黑白影象應用實驗 圖2(a)和(b)顯示了雙邊濾波器用於紋理去除的能力。圖2(b)直觀的展示了雙邊濾波器在不丟失影象整體形狀特徵的同時減少資料開銷，而這種特徵可用於影象傳輸，影象編輯和操作，影象檢索描述等。
                                                (a)                                                                                           (b)                                                                                                       圖2 使用引數分別為sd=3和sr=50的雙邊濾波器作用於圖3(a)生成圖3(b)。注意到大部分紋理細節已能被去除，同時輪廓卻和原圖一樣的鮮明。圖3(c)截取了圖3(a)的一個細節，圖3(d)顯示對應的濾波後的影象。這兩個洋蔥擁有圖形的表面，同時細節被去除。然而，整體形狀被保留，這是由於很好的位於空域濾波器的頻帶內，同時基本不受範圍濾波器的影響。而且，洋蔥的形狀邊界被保留。                                                           (a)
                                                           (b)                                                                (c)
                                              (d)                                                   圖3 彩色影象應用實驗 對於黑白影象而言，任意兩個灰度值間的密度仍然是灰度值。因此，當使用標準低通濾波器平滑黑白影象時，產生了跨越邊緣的中間灰度級，以及影象模糊。而對於彩色圖，由於任意兩種顏色間會存在完全不同的顏色，因此一種額外的複雜度伴隨而生。例如，藍色和紅色間會存在粉色和紫色等。因此，作用於顏色時分佈的彩色頻帶便產生了。平滑後的影象並不僅僅看起來是模糊了，同時會呈現看起來怪怪的而且物體周圍有光環的感覺。                                                  
            (a)                                                                              (b)                                                  
            (c)                                                                               (d)                                                 圖4 圖4(a)展示一幅面背景為藍色天空的紅色夾色的細節。即使在未被模糊的情況下，一條粉紫線仍會被清晰的看到。這是由於光暈模糊和畫素平均導致的。事實上，位於邊界的畫素，當投影到背景場景中時，紅色夾色會和藍色天空進行交集運算，其結果顏色就是紅色和藍色的平均值。當應用平滑時，如圖4(b)顯示的那樣，粉此線會加寬。 為了解決這個困難，邊緣保留平滑應該單獨作用於影象的紅、綠、藍成分。然而，邊緣處的密度分佈通常是不一樣的。如圖4(c)顯示的那樣，單獨作用於三個通道將會產生比原圖更嚴重的粉色和紫色頻帶效果。粉紫頻帶並不像圖4(b)那樣的標準模糊後的加寬結果。 一個更好的方案可以通過雙邊濾波器解決。實際上，雙邊濾波器允許近似的組合三個顏色通道，並且測量在組合空間上的光度距離。更重要的是，這個組合後的距離能對應於CIE-Lab空間上歐幾里德距離的感知不相似性。這個顏色空間是基於人類觀察與心理物理顏色感知的匹配實驗。在這個空間上，小的歐氏距離對應於更強的顏色顏色差異感知，從正常的人類觀察的角度。因此，一個場景中，對於彩色影象，雙邊濾波器在CIE-Lab空間的操作是最自然的型別：僅處理感知上最相似的顏色，僅保留感知上最重要的邊緣。圖4(d)顯示了圖4(a)應用雙邊濾波器的結果。其中粉色明顯縮減，同時沒有額外的顏色產生。
                              (a)                                                          (b)                                                             (c)                                                                   圖5 圖5(c)顯示了圖5(a)應用雙邊濾波器5次迭代的結果。一次處理通常能產生更比原圖更好的結果，如圖5(b)，這對於大多數的影象處理需求往往是足夠的，多次迭代能產生影象的平面著色效果，同時不模糊邊緣。結果影象擁有更小的顏色表，並且雙邊濾波器的效應能在列印影象中更加容易的看到。注意圖5(c)中具有類似卡通的效果。所有的陰影和邊緣被保留，大多數的陰影被去除，並且濾波器沒有產生新的顏色。 參考

[1] C. Tomasi and R. Manduchi, "Bilateral Filtering for Gray and Color Images", Proceedings of the 1998 IEEE International Conference on Computer Vision, Bombay, India.
[2] T. Boult, R.A. Melter, F. Skorina, and I. Stojmenovic,"G-neighbors", Proceedings of the SPIE Conference on Vision Geometry II, pages 96-109, 1993.
[3] R.T. Chin and C.L. Yeh, "Quantitative evaluation of some edge-preserving noise-smoothing techniques", Computer Vision, Graphics, and Image Processing, 23:67-91, 1983.
[4] L.S. Davis and A. Rosenfeld, "Noise cleaning by iterated local averaging", IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, 8:705-710, 1978.
[5] R.E. Graham, "Snow-removal - a noise-stripping process for picture signals", IRE Transactions on Information Theory, 8:129-144, 1961.
[6] N. Himayat and S.A. Kassam, "Approximate performance analysis of edge preserving filters", IEEE Transactions on Signal Processing, 41(9):2764-77, 1993.
[7] T.S. Huang, G.J. Yang, and G.Y. Tang, "A fast two-dimensional median filtering algorithm", IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 27(1):13-18, 1979.
[8] J.S. Lee, "Digital image enhancement and noise filtering by use of local statistics", IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 2(2):165-168, 1980.
[9] M. Nagao and T. Matsuyama, "Edge preserving smoothing", Computer Graphics and Image Processing, 9:394-407, 1979.
[10] P.M. Narendra, "A separable median filter for image noise smoothing", IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 3(1):20-29, 1981.
[11] K.J. Overton and T.E. Weymouth, "A noise reducing preprocessing algorithm",Proceedings of the IEEE Computer Science Conference on Pattern Recognition and Image Processing, pages 498-507, Chicago, IL, 1979.
[12] P. Perona and J. Malik, "Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion", IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 12(7):629-639, 1990.
[13] G. Ramponi, "A rational edge-preserving smoother", Proceedings of the International Conference on Image Processing, volume 1, pages 151-154, Washington, DC, 1995.
[14] G. Sapiro and D.L. Ringach, "Anisotropic diffusion of color images", Proceedings of the SPIE, volume 2657, pages 471-382, 1996.
[15] D.C.C. Wang, A.H. Vagnucci, and C.C. Li, "A gradient inverse weighted smoothing scheme and the evaluation of its performance",Computer Vision, Graphics, and Image Processing, 15:167-181, 1981.
[16] G. Wyszecki and W. S. Styles, Color Science: Concepts and Methods, Quantitative Data and Formulae, John Wiley and Sons, New York, NY, 1982.
[17] L. Yin, R. Yang, M. Gabbouj, and Y. Neuvo, "Weighted median filters: a tutorial",IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing, 43(3):155-192, 1996.

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