由於時間緊，不能將相關概念一一陳述。

隨機事件的關係和運算

隨機試驗

在拋硬幣的過程中，我們注意到，在相同條件下，我們每一次拋硬幣的時候，我們無法得知硬幣最後靜止時，硬幣的哪一面向上，但是我們通過不斷的拋硬幣的過程中發現，結果無非是正方兩面。

因此我們定義隨機試驗：
1. 試驗可以在相同條件下重複地進行。
2. 試驗的結果不止一個，且事先可以明確實驗的所有可能結果，
3. 試驗之前無法預知會出現哪一個結果。

樣本空間

已知一個隨機事件，其所有可能結果組成的集合稱為樣本空間。隨機事件可能的結果稱為樣本點。

隨機事件

樣本空間中滿足某些條件的子集，稱為隨機事件。
 

事件的關係

1. 包含關係：A⊂B⇔事件A發生B必然發生
2. 相等關係：A=B⇔A⊂B,B⊂A

3. 和關係 ：A∪B⇔事件A與事件B至少發生一個

   對於事件的關係而言，用語言的描述更能讓人理解事件的”真正”關係.
   積事件： A∩B⇔事件A與事件B同時發生。

   所謂的事件同時發生，由於隨機事件是樣本空間的子集，也就是它由一系列的樣本點組成。所以，兩個事件的樣本點有交集時，相同的樣本點發生，即為事件A與事件B同時發生。

4. 差事件：A−B⇔B不發生而A發生。

也就是說A−B=A−A∩B=A∩B¯¯¯

在以後的學習上可能會出現獨立事件，首先我們明確的是，此時給出的公式是通用公式是用於任何事件關係，而不管其是否獨立。
 

5. 互不相容事件：A∩B=ϕ⇔ 事件A與事件B不肯能同時發生
6. 對立事件：A∩B=ϕ,A∪B=Ω↔A與B必有一個發生且僅有一個發生。

若A、B為對立事件則其非事件仍為對立事件。

最後一個是比較容易疏忽的概念
7. 完全事件組：事件兩兩互不相容、且事件的和事件為樣本空間。

運算不講

隨機事件的概率與運算

概率

對於概率的概念，在概率論中是以函式的形式定義的，太**了。
這個函式P(A)具有：（A為隨機事件）
1. 非負性
2. 規範性（樣本空間的概率為1）
3. 可加性（也就是相當於完全事件組的子集，不兩兩互不相容其和運算為完全事件組的子集）

概率的性質

1. 不可能事件的概率為0
2. 對於兩兩互不相容的事件P(∪ni=1Ai)=∑ni=1P(Ai)
3. 對於兩個事件A 、B，如果A⊂B則有P(B−A)=P(B)−P(A)
4. 加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)

5. 對於任何事件A,有P(A¯¯¯)=1−P(A)

   對於事件發生的概率，有一個問題值得思考，當其概率為0時，它是不是不可能事件？當一個事件的概率為1時，它是不是樣本空間的概率？這個結論雖然不是那麼明顯，但確實都不是，但我們卻不知道證明，此時我們可以舉出反例，假設數軸上0到1內所有的點為樣本空間，則數軸上的任一一點為樣本點，此時此樣本點的概率為0，我們不能說其是不可能事件，相反除此樣本點的事件為1則該事件一定不是樣本空間的概率。

求概率的方法

在這第二節，引入了概率論最最基礎的兩個模型，一個是古典型概率，一是幾何型概率

古典型概率

1. 試驗中基本事件數目有限
2. 基本事件發生的可能性相同

幾何型概率

如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度(面積或體積或度數)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何型概率。

全概率公式

公式表示若事件A1，A2，…，An構成一個完備事件組且都有正概率，則對任意一個事件B都有公式成立

貝葉斯公式

在全概率的條件下：

1. 引起A發生有互不相容的n種情況。
2. 事件A發生依賴事件Bi的發生。

貝葉斯公式的厲害之處在於它可以得出在A發生之後B發生的概率。

事件得獨立性和獨立重複試驗

若事件滿足P(AB)=P(A)P(B)則稱事件與相互獨立，簡稱A與B相互獨立。

若A、B相互獨立且概率不為0，則獨立與不互相容不能同時存在。

三個事件相互獨立

三個事件兩兩獨立

定理1，若A、B為兩個事件，AB相互獨立,則P(A|B)=P(A)。
定理2，若A、B相互獨立則A,B¯¯¯、A¯¯¯、B、A¯¯¯，B¯¯¯相互獨立

伯努利試驗

條件概率

其他

關於事件獨立性、和對立事件、和互不相容之間得關係。
在同一樣本空間下：
如果兩個個事件是對立關係那麼這兩個事件得獨立性是什麼？
如果兩個個事件是互不相容關係那麼這兩個事件得獨立性是什麼？

若A、B相互獨立且概率不為0，則獨立與不互相容不能同時存在。

根據這個若獨立或者互不相容是否能退出A B一定不具有獨立性。