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關聯分析又稱關聯挖掘，就是在交易資料、關係資料或其他資訊載體中，查詢存在於專案集合或物件集合之間的頻繁模式、關聯、相關性或因果結構。關聯分析的一個典型例子是購物籃分析。通過發現顧客放入購物籃中不同商品之間的聯絡，分析顧客的購買習慣。比如，67%的顧客在購買尿布的同時也會購買啤酒。通過了解哪些商品頻繁地被顧客同時購買，可以幫助零售商制定營銷策略。關聯分析也可以應用於其他領域，如生物資訊學、醫療診斷、網頁挖掘和科學資料分析等。

1. 問題定義

圖1 購物籃資料的二元表示

　　圖1表示顧客的購物籃資料，其中每一行是每位顧客的購物記錄，對應一個事務，而每一列對應一個項。令I={i1, i2, ... , id}是購物籃資料中所有項的集合，而T={t1, t2, ... , tN}是所有事務的集合。每個事務ti包含的項集都是I的子集。在關聯分析中，包含0個或多個項的集合被稱為項集（itemset）。所謂的關聯規則是指形如X→Y的表示式，其中X和Y是不相交的項集。在關聯分析中，有兩個重要的概念——支援度

公式1

　　其中，N是事務的總數。關聯規則的支援度很低，說明該規則只是偶然出現，沒有多大意義。另一方面，置信度可以度量通過關聯規則進行推理的可靠性。因此，大多數關聯分析演算法採用的策略是：

（1）頻繁項集產生：其目標是發現滿足最小支援度閾值的所有項集，這些項集稱作頻繁項集。

（2）規則的產生：其目標是從上一步發現的頻繁項集中提取所有高置信度的規則，這些規則稱作強規則。

2. 構建FP-tree

　　FP-growth演算法通過構建FP-tree來壓縮事務資料庫中的資訊，從而更加有效地產生頻繁項集。FP-tree其實是一棵字首樹，按支援度降序排列，支援度越高的頻繁項離根節點越近，從而使得更多的頻繁項可以共享字首。

圖2 事務型資料庫

　　圖2表示用於購物籃分析的事務型資料庫。其中，a，b，...，p分別表示客戶購買的物品。首先，對該事務型資料庫進行一次掃描，計算每一行記錄中各種物品的支援度，然後按照支援度降序排列，僅保留頻繁項集，剔除那些低於支援度閾值的項，這裡支援度閾值取3，從而得到<(f:4)，(c:4)，(a:3)，(b:3)，(m:3，(p:3)>（由於支援度計算公式中的N是不變的，所以僅需要比較公式中的分子）。圖2中的第3列展示了排序後的結果。

　　FP-tree的根節點為null，不表示任何項。接下來，對事務型資料庫進行第二次掃描，從而開始構建FP-tree：

　　第一條記錄<f，c，a，m，p>對應於FP-tree中的第一條分支<(f:1)，(c:1)，(a:1)，(m:1)，(p:1)>：

圖3 第一條記錄

　　由於第二條記錄<f，c，a，b，m>與第一條記錄有相同的字首<f，c，a>，因此<f，c，a>的支援度分別加一，同時在(a:2)節點下新增節點(b:1)，(m:1)。所以，FP-tree中的第二條分支是<(f:2)，(c:2)，(a:2)，(h:1)，(m:1)>：

圖4 第二條記錄

　　第三條記錄<f，b>與前兩條記錄相比，只有一個共同字首<f>，因此，只需要在(f:3)下新增節點<b:1>：

圖5 第三條記錄

　　第四條記錄<c，b，p>與之前所有記錄都沒有共同字首，因此在根節點下新增節點(c:1)，(b:1)，(p:1)：

圖6 第四條記錄

　　類似地，將第五條記錄<f，c，a，m，p>作為FP-tree的一個分支，更新相關節點的支援度：

圖7 第五條記錄

 　　為了便於對整棵樹進行遍歷，建立一張項的頭表（an item header table）。這張表的第一列是按照降序排列的頻繁項。第二列是指向該頻繁項在FP-tree中節點位置的指標。FP-tree中每一個節點還有一個指標，用於指向相同名稱的節點：

圖8 FP-tree

　3. 從FP-tree中挖掘頻繁模式（Frequent Patterns）

　　我們從頭表的底部開始挖掘FP-tree中的頻繁模式。在FP-tree中以p結尾的節點鏈共有兩條，分別是<(f:4)，(c:3)，(a:3)，(m:2)，(p:2)>和<(c:1)，(b:1)，(p:1)>。其中，第一條節點連結串列表示客戶購買的物品清單<f，c，a，m，p>在資料庫中共出現了兩次。需要注意到是，儘管<f，c，a>在第一條節點鏈中出現了3次，單個物品<f>出現了4次，但是它們與p一起出現只有2次，所以在條件FP-tree中將<(f:4)，(c:3)，(a:3)，(m:2)，(p:2)>記為<(f:2)，(c:2)，(a:2)，(m:2)，(p:2)>。同理，第二條節點連結串列示客戶購買的物品清單<c，b，p>在資料庫中只出現了一次。我們將p的字首節點鏈<(f:2)，(c:2)，(a:2)，(m:2)>和<(c:1)，(b:1)>稱為p的條件模式基（conditional pattern base）。我們將p的條件模式基作為新的事務資料庫，每一行儲存p的一個字首節點鏈，根據第二節中構建FP-tree的過程，計算每一行記錄中各種物品的支援度，然後按照支援度降序排列，僅保留頻繁項集，剔除那些低於支援度閾值的項，建立一棵新的FP-tree，這棵樹被稱之為p的條件FP-tree：

圖9 p的條件FP-tree

　　從圖9可以看到p的條件FP-tree中滿足支援度閾值的只剩下一個節點(c:3)，所以以p結尾的頻繁項集有(p:3)，(cp:3)。由於c的條件模式基為空，所以不需要構建c的條件FP-tree。

　　在FP-tree中以m結尾的節點鏈共有兩條，分別是<(f:4)，(c:3)，(a:3)，(m:2)>和<(f:4)，(c:3)，(a:3)，(b:1)，(m:1)>。所以m的條件模式基是<(f:2)，(c:2)，(a:2)>和<(f:1)，(c:1)，(a:1)，(b:1)>。我們將m的條件模式基作為新的事務資料庫，每一行儲存m的一個字首節點鏈，計算每一行記錄中各種物品的支援度，然後按照支援度降序排列，僅保留頻繁項集，剔除那些低於支援度閾值的項，建立m的條件FP-tree:

圖10 m的條件FP-tree

　　與p不同，m的條件FP-tree中有3個節點，所以需要多次遞迴地挖掘頻繁項集mine(<(f:3)，(c:3)，(a:3)|(m:3)>)。按照<(a:3)，(c:3)，(f:3)>的順序遞迴呼叫mine(<(f:3)，(c:3)|a，m>)，mine(<(f:3)|c，m>)，mine(null|f，m)。由於(m:3)滿足支援度閾值要求，所以以m結尾的頻繁項集有{(m:3)}。

圖11 節點(a，m)的條件FP-tree

　　從圖11可以看出，節點(a，m)的條件FP-tree有2個節點，需要進一步遞迴呼叫mine(<(f:3)|c，a，m>)和mine(<null|f，a，m>)。進一步遞迴mine(<(f:3)|c，a，m>)生成mine(<null|f，c，a，m>)。因此，以(a，m)結尾的頻繁項集有{(am:3)，(fam:3)，(cam:3)，(fcam:3)}。

圖 12 節點(c，m)的條件FP-tree

　　從圖12可以看出，節點(c，m)的條件FP-tree只有1個節點，所以只需要遞迴呼叫mine(<null|f，c，m>)。因此，以(c，m)結尾的頻繁項集有{(cm:3)，(fcm:3)}。同理，以(f，m)結尾的頻繁項集有{(fm:3)}。

　　在FP-tree中以b結尾的節點鏈共有三條，分別是<(f:4)，(c:3)，(a:3)，(b:1)>，<(f:4)，(b:1)>和<(c:1)，(b:1)>。由於節點b的條件模式基<(f:1)，(c:1)，(a:1)>，<(f:1)>和<(c:1)>都不滿足支援度閾值，所以不需要再遞迴。因此，以b結尾的頻繁項集只有(b:3)。

　　同理可得，以a結尾的頻繁項集{(fa:3)，(ca:3)，(fca:3)，(a:3)}，以c結尾的頻繁項集{(fc:3)，(c:4)}，以f結尾的頻繁項集{(f:4)}。

5. 討論

　　在韓家煒教授提出FP-growth演算法之前，關聯分析普遍採用Apriori及其變形演算法。但是，Apriori及其變形演算法需要多次掃描資料庫，並需要生成指數級的候選項集，效能並不理想。FP-growth演算法提出利用了高效的資料結構FP-tree，不再需要多次掃描資料庫，同時也不再需要生成大量的候選項。

　　對於單路徑的FP-tree其實不需要遞迴，通過排列組合可以直接生成。韓家煒教授在其論文中提到了針對單路徑的優化演算法。論文中也提到了面對大資料時，如何調整FP-growth演算法使之適應資料量。

6. 參考資料

[1] Mining Frequent Patterns without Candidate Generation. Jiawei Han, Jian Pei, and Yiwen Yin. Data Mining and Knowledge Discovery. Volume 8 Issue 1. January 2004. [PDF]

[2] Frequent Pattern 挖掘之二(FP Growth演算法). yfx416. Software Engineer in NRC. 2011. [Link]

[3] FP-Tree演算法的實現. Orisun. 華夏35度. 2011. [Link]