Kernel Canonical Correlation Analysis

1、CCA的不足

普通的線性CCA只能探索兩組隨機變數之間的線性關係，而在實際情況中，變數間的關係往往是非線性的，於是非線性的CCA出現了，KCCA就是一種常用的非線性CCA演算法。KCCA是把核函式的思想引入CCA中，思想是把低維的資料對映到高維的特徵空間（核函式空間），並通過核函式方便地在核函式空間進行關聯分析。

2、演算法實現

首先引入一個把資料對映到高維特徵空間的的對映(從m維到n維的對映)：

ϕ:x=(x1,...,xm)↦ϕ(x)=(ϕ1(x),...,ϕn(x)),(m<n)

核Kernel是指一個函式K，對所有的x

,z有：

K(x,z)=⟨ϕ(x),ϕ(z)⟩

設兩組向量的樣本矩陣為：
Xp×N=(X1,...,XN),Yq×N=(Y1,...,YN)

設ϕX,ϕY分別表示作用於X,Y上的變換，即：
ϕX(X)=(ϕX(X1),...,ϕX(XN)),ϕY(Y)=(ϕY(Y1),...,ϕY(YN))

變換後的ϕX(X)、ϕY(Y)均為n x N維矩陣。之後和線性CCA類似，我們希望找到兩個n維向量wX,wY，使得u=wTXϕX(X)與 v=wTYϕY(Y)相關係數ρ最大。

在X、Y上定義核矩陣KX、KY(均為N×N)如下：
KX(i,j)=KX(Xi,Xj)=ϕX(Xi)TϕX(Xj)

,KY(i,j)=KY(Yi,Yj)=ϕY(Yi)TϕY(Yj)

該問題可以轉化為一個優化問題：
L(wX,wY,λX,λY)=αTMα−λX2αTLα−λY2βT

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