NTT $NTT$相關

一種快速數論變換演算法，這種演算法是以數論為基礎，對樣本點為的數論變換，按時間抽取的方法，得到一組等價的迭代方程，有效高速簡化了方程中的計算公式·與直接計算相比，大大減少了運算次數。（見快速傅立葉變換）。
在計算機實現多項式乘法中，我們所熟知的快速傅立葉變換(FFT)是基於n次單位根 (omega) 的優秀性質實現的，而由於其計算時會使用正弦函式和餘弦函式，在不斷運算時無法避免地會產生精度誤差。而多項式乘法有些時候會建立在模域中，在對一些特殊的大質數取模時，便可以考慮用原根g來代替 ，而這些特殊的大質數的原根恰好滿足 的某些性質，這使得多項式乘法在模域中也可以快速的分治合併。
——百度百科

NTT（Number Theoretic Transform），中文名快速數論變換
和FFT $FFT$一樣，NTT $NTT$也用來加速多項式乘法，不過NTT $NTT$最大的優點是可以取模
或者可以理解為NTT $NTT$是FFT $FFT$取模升級版

• 看這篇NTT $NTT$之前確保你已經會了FFT $FFT$→奶一口本人FFT $FFT$部落格

• 好像NTT $NTT$比起FFT $FFT$來難的知識點更少了emm

NTT $NTT$的優缺點

優點

• 能取模，FFT $FFT$複數你給我取個模……？

• 沒有精度差，FFT $FFT$浮點數精度怎麼也會出點問題

• 由於均為整數操作（雖然取模多），

  NTT $NTT$常數小，通常比一大堆浮點運算的FFT $FFT$要快（其實這是放屁）

  

  

  

NTT $NTT$小資料下表現良好……

缺點

• 多項式的係數都必須是整數

• 模數有限制而且NTT $NTT$題目的模數通常都是相同的998244353 $998244353$

NTT $NTT$前置知識&技能

原根

對於g,p∈Z $g,p\in Z$，如果g i modp(1⩽i⩽p−1) $g^{i}modp(1⩽i⩽p-1)$的值互不相同，則稱g $g$為p $p$的原根
或者說∀i,j(1⩽i,j⩽p−1,i<j),g i modp≠g j modp $\forall i,j($

1⩽i,j⩽p−1,i<j),gimodp≠gjmodp，那麼g $g$為p $p$的原根
原根沒什麼快速求法，只能暴力列舉判斷
通常模數常見的有998244353,1004535809,469762049 $998244353,1004535809,469762049$，這幾個的原根都是3 $3$
就這麼少東西？好像真的只有這麼少

NTT $NTT$（快速數論變換）

FFT $FFT$可以優化是因為ω $\omega$有著神奇且優秀的性質
NTT $NTT$呢？其實原根也有這類性質！

在NTT $NTT$裡，我們可以拿原根來代替FFT $FFT$的單位根
具體就是，當合並區間的長度為len=2mid $len=2mid$時，單位根為cos2πlen+isin2πlen=cosπmid+isinπmid $\cos \frac{2\pi }{len}+i\sin \frac{2\pi }{len}=\cos \frac{\pi }{mid}+i\sin \frac{\pi }{mid}$
而原根即為g p−1len =g p−12