在一個由n個元素組成的集合中，第i個順序統計量是該集合中第i小的元素。一箇中位數是它所屬集合的“中點元素”。中位數總是出現在上中位數處和下中位數處，本書中所用的“中位數”都是指下中位數。

本章討論的問題是，從一個由n個互異的元素構成的集合中選擇第i個順序統計量的問題，假設集合中的元素都是互異的。問題可被形式化定義為：

輸入：一個包含n個（互異的）數的集合A和一個整數i，1<=i<=n.

輸出：元素x屬於A，且A中恰好有i-1個其它元素小於它。（即在增序情況說下，x為第i 個元素）。

9.1最小值和最大值

對於確定單個最小值（最大值）的問題，能得到的下界就是n-1次比較，即需要遍歷整個陣列進行比較。

Minimum(A)
{
    min=A[1];
    for i=2 to A.length
        if min>A[i]
            min=A[i];
    return min
}

同時找最小值和最大值，如果分別獨立地找出最小值和最大值，需要共2n-2次比較。

採用另一種方法：記錄已知的最小值和最大值（上面的做法是用每一個輸入元素與當前的最小值和最大值進行比較，這樣每個輸入值都需要比較兩次），對輸入元素進行成對處理。先將一對輸入元素相互進行比較，然後把較小的與當前最小值比較，把較大的與當前最大值進行比較，這樣每兩個元素需要3次比較。此時的比較次數為

設定已知的最小值和最大值的初始值依賴於n是奇數還是偶數。當n是奇數時，最大值和最小值的初始值都設為第一個元素的值，然後成對的處理剩下的元素。如果n是偶數，就對前兩個元素做一次比較，決定最大值和最小值的初值，然後成對的處理剩下的元素。

9.2期望為線性時間的選擇演算法

解決選擇問題的分治演算法，期望執行時間為(n)。

Randomized-Select(A, p, r, i)//返回陣列A[p..r]中第i小的元素
{
    if p==r//此時A中只包括一個元素，直接返回
        return A[p];
    q=Randomized-Partition(A, p, r);
    k=q-p+1;
    if i==k//檢查A[q]是否是第i小的元素
        return A[q];//如果是的話，就返回A[q]
    else if i<k//否則就要確定第i小的元素落在哪個子陣列
        return Randomized-Select(A, p, q-1, i);
    else return Randomized-Select(A, q+1, r, i);
}
 

Randomized-Select的最壞情況執行時間為(n^2)，因為在每次劃分時可能總是按餘下的元素中最大的來進行劃分，劃分操作需要(n)時間。同時，該演算法有線性期望執行時間，因為它是隨機化的，所以不存在一個特定會導致其最壞情況發生的輸入資料。

9.3最壞情況為線性時間的選擇演算法

一個最壞時間為O(n)的選擇演算法。像Randomized-Select一樣，Select演算法通過對輸入陣列的遞迴劃分來找出所需元素。但是在該演算法中能夠保證得到對陣列的一個好的劃分。通過執行下列步驟，演算法select可以確定一個有n>1個不同元素的輸入陣列中第i小的元素。（如果n=1，則select只返回它的唯一輸入數值作為第i小的元素）。

1. 將輸入陣列的n個元素劃分為(向下取整(n/5))組，每組5個元素，且至多隻有一組由剩下的nmod5個元素組成。

2.尋找這(向上取整(n/5))組中每一組的中位數：首先對每組元素進行插入排序，然後確定每組有序元素的中位數。

3.對第2步中找出的(向上取整(n/5))箇中位數，遞迴呼叫select以找出其中位數x（如果有偶數箇中位數，為了方便，約定x是較小的中位數）。

4.利用修改過的Partition版本，按中位數的中位數x對輸入陣列進行劃分。讓k比劃分的低區中的元素數目多1，因此x是第k小的元素，並且有n-k個元素在劃分的高區。

5.如果i=k，則返回x。如果i<k，則在低區遞迴呼叫select來找出第i小的元素。如果i>k，則在高區遞迴查詢第i-k小的元素。

（程式碼下次補）。

時間複雜度為O(n)。