題目描述

求出1~13的整數中1出現的次數,並算出100~1300的整數中1出現的次數？為此他特別數了一下1~13中包含1的數字有1、10、11、12、13因此共出現6次,但是對於後面問題他就沒轍了。ACMer希望你們幫幫他,並把問題更加普遍化,可以很快的求出任意非負整數區間中1出現的次數。

二、解法

推廣到任意數字的出現次數，用X表示
這裡的 X∈[1,9] ，因為 X=0 不符合下列規律，需要單獨計算。 首先要知道以下的規律： 從 1 至
10，在它們的個位數中，任意的 X 都出現了 1 次。 從 1 至 100，在它們的十位數中，任意的 X 都出現了 10 次。 從 1 至
1000，在它們的百位數中，任意的 X 都出現了 100 次。

接下來以 n=2593,X=5 為例來解釋如何得到數學公式。從 1 至 2593 中，數字 5 總計出現了 813 次，其中有 259 次出現在個位，260 次出現在十位，294 次出現在百位，0 次出現在千位。

現在依次分析這些資料，首先是個位。從 1 至 2590 中，包含了 259 個 10，因此任意的 X 都出現了 259 次。最後剩餘的三個數 2591, 2592 和 2593，因為它們最大的個位數字 3 < X，因此不會包含任何 5。（也可以這麼看，3<X，則個位上可能出現的X的次數僅由更高位決定，等於更高位數字（259）X101-1=259）。

然後是十位。從 1 至 2500 中，包含了 25 個 100，因此任意的 X 都出現了 25×10=250 次。剩下的數字是從 2501 至 2593，它們最大的十位數字 9 > X，因此會包含全部 10 個 5。最後總計 250 + 10 = 260。（也可以這麼看，9>X，則十位上可能出現的X的次數僅由更高位決定，等於更高位數字（25+1）X102-1=260）。

接下來是百位。從 1 至 2000 中，包含了 2 個 1000，因此任意的 X 都出現了 2×100=200 次。剩下的數字是從 2001 至 2593，它們最大的百位數字 5 == X，這時情況就略微複雜，它們的百位肯定是包含 5 的，但不會包含全部 100 個。如果把百位是 5 的數字列出來，是從 2500 至 2593，數字的個數與百位和十位數字相關，是 93+1 = 94。最後總計 200 + 94 = 294。（也可以這麼看，5==X，則百位上可能出現X的次數不僅受更高位影響，還受低位影響，等於更高位數字（2）X103-1+（93+1）=294）。

最後是千位。現在已經沒有更高位，因此直接看最大的千位數字 2 < X，所以不會包含任何 5。（也可以這麼看，2<X，則千位上可能出現的X的次數僅由更高位決定，等於更高位數字（0）X104-1=0）。
到此為止，已經計算出全部數字 5 的出現次數。

三、上程式碼

import java.util.*;
public class Solution {
    public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
        if(n<0)
            return 0;
        int x = 1;

        int height ,i,low,curr,last,totle;
        i = 1;
        height = n;
        totle = 0;
        while(height!=0)
        {
            height = n/(int)Math.pow(10,i);
            low = n%(int)Math.pow(10,i);
            curr = low/(int)Math.pow(10,i-1);
            last = low%(int)Math.pow(10,i-1);
            if(curr == x)
            {
                totle += height*(int)Math.pow(10,i-1)+last+1;
            }
            else if(curr>x){
                totle += (height+1)*(int)Math.pow(10,i-1);
            }else{
                totle += height*(int)Math.pow(10,i-1);
            }
            i++;

        }
        return totle;
    }
}