二叉搜尋樹及AVL平衡二叉搜尋樹
阿新 • • 發佈：2019-01-10
二叉搜尋樹
二叉搜尋樹是二叉樹的的一種，只不過多了個限制條件，即左子樹節點的值都小於該點，右子樹節點的值都大於該點。
定義：
// 樹節點
template <typename T>
class Node
{
public:
T key;
Node* parent;
Node* left;
Node* right;
Node(T k, Node* p = nullptr, Node* l = nullptr, Node* r = nullptr) :
key(k), parent(p), left(l), right(r) {}
};
// 二叉搜尋樹
template 這裡只實現了最關鍵的三個操作：查詢、插入和刪除。
查詢自然不必多說，類似於二分查詢，從根節點開始判斷往左往右還是命中。
插入也簡單，類似查詢，找到要插入的位置即可，注意新插入的節點必為葉子節點。
刪除節點就麻煩一些了，需要分情況進行處理。
（1）刪除的節點為葉子節點，直接刪除即可。
（2）刪除的節點只有一個孩子，把這個孩子提上來代替自己即可。
（3）刪除的節點左右孩子皆有，這種情況需要先找到右子樹最左節點，然後把這個節點跟要刪除的節點交換，這樣就變成了刪除右子樹最左節點了，而該最左節點必定無左孩子，這樣刪除就變成上面兩種情況之一了。
這裡還要注意的一點是當刪除的節點為根節點時，要維護好根節點的更新。
實現：
template <typename T>
BSTree<T>::BSTree() : root_(nullptr) {}
template < AVL 自平衡二叉搜尋樹
AVL樹在二叉搜尋樹的基礎上加了平衡的限制條件，即對於每個節點，左右子樹的高度差不能超過1，這樣對於某些情況，該搜尋樹的效能就不至於下降。
AVL樹的定義於普通的二叉搜尋樹大同小異，不過受限於平衡條件，插入和刪除節點的操作就變得複雜起來，在每次插入或刪除節點後，都要判斷是否失衡並恢復平衡。
定義：
template <typename T>
class Node
{
public:
T key;
int height;
Node* left;
Node* right;
Node(T k, Node* l = nullptr, Node* r = nullptr) :
key(k), height(0), left(l), right(r) {}
};
template <typename T>
class AVLTree
{
private:
Node<T>* root_;
public:
AVLTree();
~AVLTree();
int Height(Node<T>* head);
Node<T>* Search(T key);
void Insert(T key);
void Remove(T key);
private:
Node<T>* LLRotation(Node<T>* head);
Node<T>* RRRotation(Node<T>* head);
Node<T>* LRRotation(Node<T>* head);
Node<T>* RLRotation(Node<T>* head);
Node<T>* Insert(Node<T>* &head, T key);
Node<T>* Remove(Node<T>* &head, Node<T>* r);
void Destroy(Node<T>* &head);
};
四種失衡狀態及其恢復
（1）LL
（2）RR
（3）LR
（4）RL
有了四種失衡情況調整後就可以實現插入、刪除了，這裡插入刪除都是用遞迴來寫，比如插入，判斷要往左子樹還是右子樹插入，遞迴下去，返回時就要判斷左右子樹是否出現了失衡，如果出現就判斷是哪種情況並進行處理。
實現：
template <typename T>
AVLTree<T>::AVLTree() : root_(nullptr) {}
template <typename T>
AVLTree<T>::~AVLTree()
{
Destroy(root_);
}
template <typename T>
int AVLTree<T>::Height(Node<T>* head)
{
if (head)
return head->height;
return -1;
}
template <typename T>
Node<T>* AVLTree<T>::Search(T key)
{
Node<T>* cur = root_;
while (cur && cur->key != key)
{
if (key < cur->key)
cur = cur->left;
else
cur = cur->right;
}
return cur;
}
template <typename T>
Node<T>* AVLTree<T>::LLRotation(Node<T>* head)
{
Node<T>* tmp = head->left;
head->left = tmp->right;
tmp->right = head;
head->height = max(Height(head->left), Height(head->right)) + 1;
tmp->height = max(Height(tmp->left), Height(tmp->right)) + 1;
return tmp;
}
template <typename T>
Node<T>* AVLTree<T>::RRRotation(Node<T>* head)
{
Node<T>* tmp = head->right;
head->right = tmp->left;
tmp->left = head;
head->height = max(Height(head->left), Height(head->right)) + 1;
tmp->height = max(Height(tmp->left), Height(tmp->right)) + 1;
return tmp;
}
template <typename T>
Node<T>* AVLTree<T>::LRRotation(Node<T>* head)
{
head->left = RRRotation(head->left);
return LLRotation(head);
}
template <typename T>
Node<T>* AVLTree<T>::RLRotation(Node<T>* head)
{
head->right = LLRotation(head->right);
return RRRotation(head);
}
template <typename T>
Node<T>* AVLTree<T>::Insert(Node<T>* &head, T key)
{
// 插入為根節點
if (head == nullptr)
{
head = new Node<T>(key);
}
// 往左子樹插入
else if (key < head->key)
{
head->left = Insert(head->left, key);
// 判斷是否失衡
if (Height(head->left) - Height(head->right) == 2)
{
if (key < head->left->key)
head = LLRotation(head);
else
head = LRRotation(head);
}
}
// 往右子樹插入
else if (key > head->key)
{
head->right = Insert(head->right, key);
if (Height(head->right) - Height(head->left) == 2)
{
if (key > head->right->key)
head = RRRotation(head);
else
head = RLRotation(head);
}
}
// 更新高度
head->height = max(Height(head->left), Height(head->right)) + 1;
// 返回插入後的根節點
return head;
}
template <typename T>
void AVLTree<T>::Insert(T key)
{
Insert(root_, key);
}
template <typename T>
Node<T>* AVLTree<T>::Remove(Node<T>* &head, Node<T>* r)
{
// 找不到要刪除的節點
if (head == nullptr || r == nullptr)
return nullptr;
// 待刪除的節點在左子樹中
if (r->key < head->key)
{
head->left = Remove(head->left, r);
// 判斷是否失衡
if (Height(head->right) - Height(head->left) == 2)
{
if (Height(head->right->left) > Height(head