代數運算

二元運算

定義：集合上的任意兩個元素做運算後還落在這個集合中，則該運算為在該集合上的二元運算。
性質：交換律，結合律，分配律（左右同時滿足），消去律
特殊元：單位元（唯一），零元（唯一），逆元（互相為逆元）

群

半群

代數系統<G,**>在G上滿足結合律升級為半群。

群

若上述系統關於運算*有單位元e，則該系統為有么半群，若此時有么半群中任何x都有逆元x-（上標），且在G中，則<G,*>為群。

總結一下：

對某代數系統證明其為群的步驟為：
1.證明運算為二元運算
2.證明結合律
3.證明單位元
4.證明逆元

方法為假設檢驗，假設後解出左右元唯一。

群的性質

有限群，無限群，平凡群
群的階數：|G|
群中元素的次數，即使x的n次方等於e成立的最小正整數n
|a|=|a-1次方|
ak=lcm(k,n)/k

子群與陪集

子群

子群的判定：H是G的非空子集，則H是G的充分必要條件為：任意a,b∈H，有a*b-1∈H

生成子群

由一個元素和它的n次方生成的群{a,a1,an}∈G
子群的交集一定是爸爸群的子群，並集則需要滿足相交的兩個子群之間本身就要有包含關係。即是子群間相交部分才是爸爸群想要的子群。

陪集

左陪集：
從爸爸群裡找元素，與H做運算，得到H的左陪集，同理右陪集
拉格朗日定理：子群的階數一定是群的階數的因數。
質數階群必定為迴圈群

迴圈群

迴圈群是由一個生成元a和其n次冪組成
若a是無限次元，則群中有兩個生成元，a和a-1
a是有限次元，則ak是生成元的條件是，k與n互質。
由拉格朗日定理：質數階群都是迴圈群