尤拉定理與費馬小定理的證明過程
轉載自http://blog.csdn.net/Cold_Chair/article/details/52235196
內容:
在數論中,尤拉定理,(也稱費馬-尤拉定理)是一個關於同餘的性質。尤拉定理表明,若n,a為正整數,且n,a互質,則:
摺疊證明:
將1~n中與n互質的數按順序排布:x1,x2……xφ(n) (顯然,共有φ(n)個數)
我們考慮這麼一些數:
m1=a*x1;m2=a*x2;m3=a*x3……mφ(n)=a*xφ(n)
(1)
這些數中的任意兩個都不模n同餘,因為如果有mS≡mR (mod n) (這裡假定mS更大一些),就有:
mS-mR=a(xS-xR)=qn,即n能整除a(xS-xR)。但是a與n互質,a與n的最大公因子是1,而xS-xR<n
(2)
這些數除n的餘數都與n互質:
我們知道a,xi與n互質,則a × xi 與n互質,根據歐幾里得演算法,則n與(a × xi) %n也互質 。
那麼這些數除n的餘數,都在x1,x2,x3……xφ(n)中,因為這是1~n中與n互質的所有數,而餘數又小於n.
由(1)和(2)可知,數m1,m2,m3……mφ(n)(如果將其次序重新排列)必須相應地同餘於x1,x2,x3……xφ(n).
故得出:m1*m2*m3……mφ(n)≡x1*x2*x3……xφ(n) (mod n)
或者說a^[φ(n)]*(x1*x2*x3……xφ(n))≡x1*x2*x3……xφ(n)
或者為了方便:K{a^[φ(n)]-1}≡0 ( mod n ) 這裡K=x1*x2*x3……xφ(n)。
可知K{a^[φ(n)]-1}被n整除。但K中的因子x1,x2……都與n互質,所以K與n互質。那麼a^[φ(n)]-1必須能被n整除,即a^[φ(n)]-1≡0 (mod n),即a^[φ(n)]≡1 (mod n),得證。
費馬小定理:
a是不能被質數p整除的正整數,則有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
證明這個定理非常簡單,由於p是質數,所以有φ(p) = p-1,代入尤拉定理即可證明。推論:對於任意正整數a,有a^p ≡ a (mod p),因為a能被p整除時結論顯然成立。