皮埃爾·德·費馬（Pierre de Fermat），1601年生於法國，是一個律師和業餘數學家。他在數學多個分支上都有貢獻，成就甚至超過了許多職業的數學家，被譽為“業餘數學家之王”。在費馬的所有成就當中，最被大家津津樂道的莫過於“費馬大定理”了。

皮埃爾·德·費馬（1601-1665）

這個定理本身並不是很重要，但由於其證明太過於困難，直到被提出來358年之後，才在1994年被英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）所證明，因而被許多數學領域之外的人所熟知。不過，我們今天要談的是費馬小定理。這個定理對大家來說，可能就有點陌生了。實際上它是數論中的一個十分重要的定理，是初等數論四大定理（威爾遜定理，尤拉定理，中國剩餘定理和費馬小定理）之一。

在正式討論費馬小定理之前，我們先來了解一下同餘的概念和它的幾個基本性質。同餘所描述的是兩個整數的一種等價關係，如果兩個整數a和b除以同一個整數p所得的餘數相等，我們就說這兩個整數模p同餘。記作

同餘的重要性體現在它保持了普通等式的許多性質。我們知道普通等式有以下性質：

1. 恆有a = a

2. 如果a = b, b - a = 0

3. 如果a = b, b = c，那麼a = c

4. 如果a = a', b = b'，那麼a + b = a' + b'

5. 同上，a - b = a' - b'

6. 同上，ab = a'b'

相應的，同餘有類似的性質：

1. 恆有a ≡ a(mod p)

2. 如果a ≡ b(mod p), b - a ≡ 0(mod p)

3. 如果a ≡ b(mod p), b ≡ c(mod p)，那麼a ≡ c(mod p)

4. 如果a ≡ a'(mod p), b ≡ b'(mod p)，那麼a + b ≡ a' + b'(mod p)

5. 同上，a - b ≡ a' - b'(mod p)

6. 同上，ab ≡ a'b'(mod p)

這幾個性質的證明是十分容易的，因此不再贅述。

費馬小定理正是在同餘性質的基礎上被發現的：如果p是任意一個不能整除整數a的素數，那麼

這就是說a的(p - 1)次方除以p餘1。例如：令p = 7, a = 10，可知p為素數且與a互素，那麼根據費馬小定理，有

即1000000除以7餘數為1。經計算可知：

讀者可以驗證是否正確，也可以自行列舉幾個例子來體驗一下這個神奇的定理。

我們知道，數學在各個領域的應用是人類社會發展的主要推動力量，但是它的真正魅力並不在於此，甚至可以說數學的發展並不是為了應用。因此，讓我們來看看真正有價值的東西——費馬小定理的證明。

在給定了素數p和與p互素的整數a之後，我們考慮如下p - 1個數：

顯然，任意一個都不能被p整除。而且不難發現，這p - 1個數中任意兩個除以p得到的餘數都不相同。否則存在s和t()，使得，根據同餘性質(2.)，得出能被p整除，這顯然是不可能的。

由於任何數除以p所得的餘數必然等於中的一個，因此上述p - 1個數分別與模p同餘。根據同餘性質(6.)有：

再根據同餘性質(2.)有：

p為素數，顯然不整除，由此p整除，即：

到此，費馬小定理得到證明。

此證明的過程雖然簡單，但是需要對同餘性質和整除性質的深刻理解，這可能是需要專門下一番功夫的地方。最後，我們將給出費馬小定理有一個更加一般性的推論，它放開了p是素數的限制。

我們先定義一個關於正整數n的函式

例如：10以內與10互素的有4個：1、3、7、9，因此。有了這個函式之後，我們可以給出費馬小定理的如下推論：如果n是任意一個與整數a互素的整數，那麼

實際上，對於素數p有。由此可見，費馬小定理是這個推論的一個特例。

此推論的證明過程與費馬小定理的證明過程類似，只是涉及到一些額外的邏輯，我們在這裡並沒有給出。回覆“費馬小定理推論”，即可得到一份作者手寫的關於推論的證明！

“什麼是數學”公眾號的使命，就是和大家一起重新認識數學，瞭解數學的思想和方法。長按下方二維碼，即可關注“什麼是數學”公眾號。