三個重要的同餘式——威爾遜定理,費馬小定理,尤拉定理(擴充套件)
威爾遜定理
(p−1)!≡p−1≡−1(modp)(pisaprime)
由於
簡單的證明
費馬小定理
假如
p 是質數,且gcd(a,p)=1 ,那麼a(p−1)≡1 (mod p)
簡單的證明
尤拉定理
直到今天我才認清這三個人
下面就是ta的故事了:
在計算乘法逆元的時候,我們經常使用的(也是最簡單的)就是費馬小定理:
假如
p 是質數,且gcd(a,p)=1 ,那麼a(p−1)≡1 (mod p)
實際上費馬小定理是尤拉定理的特殊情況+應用
若
n,a 為正整數,且n,a 互質,則aϕ(n)≡1 (mod p)
由此,我們在計算冪的時候(底數與模數互質)則有
簡單的證明
然而當底數與模數不互質的時候怎麼辦呢
我們需要尤拉定理的擴充套件包:
方便起見,我們可以合併一下:
注意:擴充套件尤拉定理隻影響取模方式,並不影響模數
簡單的證明
在
a 的0 次,1 次,...,b 次冪模m 的序列中,前r 個數(a0到ar−1) 互不相同,從第r 個數開始,每s 個數就迴圈一次
證明:由鴿巢定理易證
我們把r 稱為a 冪次模m 的迴圈起始點,s 稱為迴圈長度。(注意:r 可以為0)
用公式表述為:ar≡ar+s(modm) a 為素數的情況
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