逆序對

給定一個1-N的排列A1, A2, ... AN，如果Ai和Aj滿足i < j且Ai > Aj，我們就稱(Ai, Aj)是一個逆序對。  

求A1, A2 ... AN中所有逆序對的數目。

input

第一行包含一個整數N。  

第二行包含N個兩兩不同整數A1, A2, ... AN。(1 <= Ai <= N)  

對於60%的資料 1 <= N <= 1000  

對於100%的資料 1 <= N <= 100000

output

一個整數代表答案

Sample Input

5
3 2 4 5 1

Sample Output

5

Time limit

10000 ms

Memory limit

262144 kB

本題由於n可能等於100000，如果用普通思想的遍歷整個資料，時間複雜度最壞為0（n^2），時間必然超時。所以本題要用歸併排序演算法。

下面簡單介紹一下歸併演算法的邏輯：

例如一個數組5 ，3， 4， 6 ，9， 1。

其中用到了分治演算法，分成兩邊同時進行，增加演算法效率，歸併演算法必然是分了lgn次。演算法的時間複雜度最壞最好平均都是lgn。

具體思路是：先找到一個mid,分成兩邊同時拆分成有序陣列（一個數，必然是有序的，所以就拆成一個數）：先拆成2個數組分別是:5 ，3 ，4 。    6  ，9  ，1。

然後拆成4個數組 5，3。   4。   6，9。    1。

繼續拆成6個數組5 3 4 6 9 1

拆完之後就是合併，定義一個空的陣列用於盛裝：5和3比較，5大，先將3賦給新定義的陣列，然後是5。3,5.和4比較，3大，將3賦給陣列，然後是4和5比較，4大，將4賦給陣列，最後將5賦給陣列。同時6 9 1進行相同的操作。最後是3 4 5 和1 6 9比較得到1 3 4 5 6 9.將這個陣列複製給原來的陣列，就完成了排序。

這樣先用遞歸拆分陣列，在合並數列就完成了歸併排序。

歸併排序的程式碼：

拆分：

void mergesort(int *a,int first,int last,int *temp)
{
	if(first<last)
	{
		int mid=(first+last)/2;
		mergesort(a,first,mid,temp);//左邊有序 
		mergesort(a,mid+1,last,temp);//右邊有序 
		MergeArray(a,first,mid,last,temp);//在將二個有序數列合併 
	}
}
 

合併：

void MergeArray(int *a,int first,int mid,int last,int *temp)
{//將有二個有序數列a[first...mid]和a[mid...last]合併。
	int k=0;
	int i=first,j=mid+1;
	int n=mid,m=last;
	while(i<=n&&j<=m)
	{
		if(a[i]<a[j])
			temp[k++]=a[i++];
		else
			temp[k++]=a[j++];
	}
	while(i<=n)
		temp[k++]=a[i++];
	while(j<=m)
		temp[k++]=a[j++];
	for(i=0;i<k;i++)
		a[first+i]=temp[i];
}

定義新的陣列：

bool MergeSort(int *a,int n)
{
	int *temp;
	temp=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
	mergesort(a,0,n-1,temp);
	free(temp);
}

實現一個n長度的陣列排序：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
void MergeArray(int *a,int first,int mid,int last,int *temp)
{//將有二個有序數列a[first...mid]和a[mid...last]合併。
	int k=0;
	int i=first,j=mid+1;
	int n=mid,m=last;
	while(i<=n&&j<=m)
	{
		if(a[i]<a[j])
			temp[k++]=a[i++];
		else
			temp[k++]=a[j++];
	}
	while(i<=n)
		temp[k++]=a[i++];
	while(j<=m)
		temp[k++]=a[j++];
	for(i=0;i<k;i++)
		a[first+i]=temp[i];
}
void mergesort(int *a,int first,int last,int *temp)
{
	if(first<last)
	{
		int mid=(first+last)/2;
		mergesort(a,first,mid,temp);//左邊有序 
		mergesort(a,mid+1,last,temp);//右邊有序 
		MergeArray(a,first,mid,last,temp);//在將二個有序數列合併 
	}
}
bool MergeSort(int *a,int n)
{
	int *temp;
	temp=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
	mergesort(a,0,n-1,temp);
	free(temp);
}
int main()
{
	int i,n;
	scanf("%d",&n);
	int *a;
	a=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
	for(i=0;i<n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	MergeSort(a,n);
	for(i=0;i<n;i++)
		printf("%d ",a[i]);
	free(a);
}

談回逆序對這道題。

通過對歸併演算法的合併比較兩個數大小的操作，可以記錄逆序對。

具體操作為（合併環節裡）：

void MergeArray(long long int *a,int first,int mid,int last,int *temp)
{
	int k=0;
	int i=first,j=mid+1;
	int n=mid,m=last;
	while(i<=n&&j<=m)
	{
		if(a[i]<=a[j])
		{			
			temp[k++]=a[i++];
		}		
		else
		{
			l+=n-i+1;
			temp[k++]=a[j++];
		}
								
	}
	while(i<=n)
		temp[k++]=a[i++];	
	while(j<=m)
		temp[k++]=a[j++];
	for(i=0;i<k;i++)
		a[first+i]=temp[i];
}

AC程式碼：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
long long int l=0;
void MergeArray(long long int *a,int first,int mid,int last,int *temp)
{
	int k=0;
	int i=first,j=mid+1;
	int n=mid,m=last;
	while(i<=n&&j<=m)
	{
		if(a[i]<=a[j])
		{			
			temp[k++]=a[i++];
		}		
		else
		{
			l+=n-i+1;
			temp[k++]=a[j++];
		}
								
	}
	while(i<=n)
		temp[k++]=a[i++];	
	while(j<=m)
		temp[k++]=a[j++];
	for(i=0;i<k;i++)
		a[first+i]=temp[i];
}
void mergesort(long long int *a,int first,int last,int *temp)
{
	if(first<last)
	{
		int mid=(first+last)/2;	
		mergesort(a,mid+1,last,temp);
		mergesort(a,first,mid,temp);
		MergeArray(a,first,mid,last,temp);
	}
}
bool MergeSort(long long int *a,int n)
{
	int *temp;
	temp=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
	mergesort(a,0,n-1,temp);
	free(temp);
}
int main()
{
	int i,n;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF){	
	long long int *a;
	a=(long long int *)malloc(sizeof(long long int)*n);
	for(i=0;i<n;i++)
		scanf("%lld",&a[i]);
	MergeSort(a,n);
	free(a);
	printf("%lld\n",l);
	}
	return 0;
}

注意：本題的資料很大，需要定義一個long long int儲存逆序對，定義一個long long int的陣列儲存需要排序的數。

（一直AC不了，就是因為這個範圍錯了。。。。。）

博主學習的時候，參考的大神部落格地址https://blog.csdn.net/yuehailin/article/details/68961304