好長時間不做揹包的問題，有一點遺忘，現在把這些問題整理一下~

一.01揹包(HDU2602)

題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602

題意就是普通的01揹包，給出n種物品和揹包容量，給出每種物品的重量和價值，求當前揹包最多能達到的價值.(c[i]表示價值，w[i]表示重量)

在二維中，dp[i][j]表示把前i件物品放入容量為v的揹包中所能達到的最大價值，狀態轉移方程為：dp[i][j]={max(dp[i][j],dp[i-1][j-w[i]]+c[i])}.

在這裡用一維的方法來解決這個問題，dp[v]表示當前是容量為v的揹包能達到的最大價值，狀態轉移方程為：dp[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}.

程式碼:

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
int c[2000];//價值
int w[2000];//重量
int dp[2000];
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n,v;
        mem(dp,0);
        scanf("%d%d",&n,&v);
        for(int i=0; i<n; i++)scanf("%d",&c[i]);
        for(int i=0; i<n; i++)scanf("%d",&w[i]);//讀入資料
        for(int i=0; i<n; i++)//容量v在前i件物品時可以得到的最大值
            for(int j=v; j>=w[i]; j--)//注意這裡是逆序，可以避免重複放置
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+c[i]);
        printf("%d\n",dp[v]);
    }
    return 0;
}
 

二.完全揹包(HDU1114)

題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1114

思路：題意是給出了小豬存錢罐的重量和存錢罐最多能承受的重量（算出它的承重），然後幾組資料，包括錢幣的價值與重量，求最多裝多少錢。這是一個完全揹包問題，錢幣有無限件可以用，按照上面的01揹包的思路，寫出狀態轉移方程：f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v},用一維來表示：f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]},看上去和01揹包一樣，但是注意，這裡的迴圈要順序寫，因為每種揹包都是無限的。當我們把i從1到N迴圈時，f[v]表示容量為v在前i種揹包時所得的價值，這裡我們要新增的不是前一個揹包，而是當前揹包。所以我們要考慮的當然是當前狀態。引用揹包九講中的話“你會發現，這個虛擬碼與

P01的虛擬碼只有v的迴圈次序不同而已。 為什麼這樣一改就可行呢？首先想想為什麼P01中要按照v=V..0的逆序來迴圈。這是因為要保證第i次迴圈中的狀態f[i][v]是由狀態f[i-1] [v-c[i]]遞推而來。換句話說，這正是為了保證每件物品只選一次，保證在考慮“選入第i件物品”這件策略時，依據的是一個絕無已經選入第i件物品的 子結果f[i-1][v-c[i]]。而現在完全揹包的特點恰是每種物品可選無限件，所以在考慮“加選一件第i種物品”這種策略時，卻正需要一個可能已選入第i種物品的子結果f[i][v-c[i]]，所以就可以並且必須採用v=0..V的順序迴圈。這就是這個簡單的程式為何成立的道理。”

程式碼：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
int value[1000];
int weight[1000];
int dp[1000005];
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int v,wa,wb;
        scanf("%d%d",&wa,&wb);
        v=wb-wa;//減去本身的重量
        int n;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=0; i<n; i++)
            scanf("%d%d",&value[i],&weight[i]);
        for(int i=0; i<=v; i++)
            dp[i]=10000000;//求最小的，所以初始化為最大值
        dp[0]=0;
        for(int i=0; i<n; i++)
            for(int j=weight[i]; j<=v; j++)
                dp[j]=min(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
        if(dp[v]==10000000)
            printf("This is impossible.\n");
        else
            printf("The minimum amount of money in the piggy-bank is %d.\n",dp[v]);
    }
    return 0;
}

三、多重揹包(HDU2191)

題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2191

思路：多重揹包和以上兩種的不同點在於，多重揹包給了具體的重量，價錢，數量，可以轉換為01揹包求解(程式碼1)，也可以進行二進位制優化,將第i種物品分成若干件物品，其中每件物品有一個係數，這件物品的費用和價值均是原來的費用和價值乘以這個係數。使這些係數分別為 1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是滿足n[i]-2^k+1>0的最大整數。例如，如果n[i]為13，就將這種 物品分成係數分別為1,2,4,6的四件物品，這種方法有模板（程式碼2），這樣就將第i種物品分成了O(log n[i])種物品，將原問題轉化為了複雜度為<math>O(V*Σlog n[i])的01揹包問題，是很大的改進，還有樓天城的單調佇列法，表示不會。。。

程式碼1：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
int value[1000];//價值
int weight[1000];//重量
int num[1000];//數量
int dp[1000005];
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        mem(dp,0);
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=0; i<m; i++)
            scanf("%d%d%d",&value[i],&weight[i],&num[i]);
        for(int i=0; i<m; i++)
            for(int j=1; j<=num[i]; j++)//把數量展開
                for(int k=n; k>=value[i]; k--)
                    dp[k]=max(dp[k],dp[k-value[i]]+weight[i]);
        printf("%d\n",dp[n]);
    }
    return 0;
}

程式碼2：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
int value[1000];//價值
int weight[1000];//重量
int num[1000];//數量
int dp[1000005];
int v,m;
void bag01(int c,int w)//01揹包
{
    int i;
    for(i=v; i>=c; i--)
    {
        if(dp[i]<dp[i-c]+w)
        {
            dp[i]=dp[i-c]+w;
        }
    }
}
void bagall(int c,int w)//完全揹包
{
    int i;
    for(i=c; i<=v; i++)
    {
        if(dp[i]<dp[i-c]+w)
        {
            dp[i]=dp[i-c]+w;
        }
    }
}
void multbag(int c,int w,int n)//多重揹包
{
    if(c*n>=v)
    {
        bagall(c,w);
        return ;
    }
    int k=1;
    while(k<=n)
    {
        bag01(k*c,k*w);
        n=n-k;
        k=k*2;
    }
    bag01(n*c,n*w);
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        mem(dp,0);
        scanf("%d%d",&v,&m);
        for(int i=0; i<m; i++)
            scanf("%d%d%d",&value[i],&weight[i],&num[i]);
        for(int i=0; i<m; i++)
            multbag(value[i],weight[i],num[i]);//套模板
        printf("%d\n",dp[v]);
    }
    return 0;
}

不太會寫這種總結性的，姑且看看。。。