Description

“簡單無向圖”是指無重邊、無自環的無向圖（不一定連通）。
一個帶標號的圖的價值定義為每個點度數的k次方的和。
給定n和k，請計算所有n個點的帶標號的簡單無向圖的價值之和。
因為答案很大，請對 $998244353​$取模輸出。

第一行包含兩個正整數 $n$

Solution

注意到每個點的貢獻都是一樣的，我們只需要列舉每個點的度數單獨考慮就行了
$ans=n\cdot{2}^{\binom{n-1}{2}}\sum\limits_{i=0}^{n}\binom{n-1}{i}​$
然後就是非常套路的 $i^k=\sum\limits_{j=0}^k \begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\binom{i}{j}j!​$
帶進去就是 $ans=n\cdot{2}^{\binom{n-1}{2}}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}\sum\limits_{j=0}^{i}\binom{i}{j}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!​$

交換列舉順序 $ans=n\cdot{2}^{\binom{n-1}{2}}\sum\limits_{j=0}^{n-1}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!\sum\limits_{i=j}^{n-1}\binom{n-1}{i}\binom{i}{j}​$

然後有等柿 $\sum\limits_{j=0}^{n-1}\sum\limits_{i=j}^{n-1}\binom{n-1}{i}\binom{i}{j}=\sum\limits_{j=0}^{n-1}\sum\limits_{i=j}^{n-1}\binom{n-1}{j}\binom{n-j-1}{i-j}=\sum\limits_{j=0}^{n-1}\binom{n-1}{j}\sum\limits_{i=j}^{n-1}\binom{n-j-1}{i-j}=\sum\limits_{j=0}^{n-1}\binom{n-1}{j}2^{n-j-1}$

為什麼呢？兩個組合數相乘的意義等價於從 $n-1$箇中直接取出 $j$個，剩餘 $i-j$