有上下界網路流

有上下界的網路流即是在普通的網路流的基礎上，額外新增每條邊流量的限制。

普通的網路流可以認為是特殊情況的上下界網路流，即流量限制為\(f_i\in [0,maxflow]\)

而現在，我們要求的每條邊的容量限制為\(f_i\in [B_i,C_i]\)

這類問題我們大致可以分成三類。

無源匯 上下界可行流

因為沒有源點和匯點，所以所有點都要滿足流量平衡。

如果我們能夠不考慮下界的話，就直接可以照搬最大流。

因為下界是一定要流滿的，所以我們先強制所有邊流滿下界，只考慮剩下的流量\(g_i\)。

那麼，也就是對於每一個點\(x\)，都要滿足流量平衡的方程：

\[\sum B_{(x,v)}+\sum g_{(x,v)}=\sum B_{(u,x)}+\sum g_{(u,x)}\]

如果能夠滿足這個方程的話，每條邊流量為\(B_i+g_i\)即是一組可行流。

考慮將流量分類，因為\(B\)是已知量，所以移項考慮左側\(B\)和右側\(g\)

假設左側\(M(x)=\sum B_{(u,x)}-\sum B_{(x,v)}\)

所以變成了需要滿足\(M(x)=\sum g_{(x,v)}-\sum g_{(u,x)}\)

因為不知道誰大誰小，所以按照\(M\)大小進行分類討論

如果\(M(x)\ge 0\)，那麼有\(\sum g_{out}=\sum g_{in}+M\)

也就是流出需要比流入的流量要多\(M\)，但是需要滿足流入等於流出。

所以建立一個超級源，連邊\((S,x)\)

反之，如果\(M(x)\lt 0\)

也就是流入多於流出，那麼需要額外流出\(M\)，

同理建立超級匯，連邊\((x,T)\)，容量為\(-M\)，補足流出不足的\(M\)

現在已經可以滿足流量平衡了，在當前圖上跑最大流。

因為上面的所有\(M\)都是已知量，也就是如果可行流存在的話，

所有的流出源和流入匯的所有邊必須滿流，否則無法補足上述流量下界要求的東西。

所以這裡就可以解決無源匯可行流的問題。

有源匯 上下界可行流

依然是可行流問題，上面已經解決了無源匯的可行流問題，考慮能否將當前的有源匯轉化為無源匯。

顯然有源匯的的可行流中，除了源匯之外的所有點都滿足流量平衡。

而流出源的容量等於流入匯的流量，所以連邊匯到源，容量為\(inf\)，這樣所有點都可以滿足流量平衡。

同時沒有了源匯，轉換為了無源匯上下界可行流問題。

有源匯 上下界最大流

由可行流變為了最大流問題。

首先明確一點，最大流一定是可行流，所以一定要先判斷是否存在可行流。

跑完可行流之後可能有一些邊還可以接著流，既然已經存在可行流了。

刪除超級源超級匯，以及\(T->S\)的邊，再在殘餘網路上解決最大流即可。

(超級源匯沒有必要刪去，因為不會答案產生影響)

那麼答案就是殘餘網路上的最大流加上可行流。

注意一下可行流是什麼東西，是\(T->S\)這條邊流過的流量。

不要和超級源超級匯之間的流量搞混了。

我寫的板子

有源匯 上下界最小流

最小流問題，在沒有上下界限制的時候是沒有意義的。（因為你可以所有邊都不動啊）

首先還是判斷可行流是否存在。

和上面一樣刪除掉超級源匯以及\(T->S\)的邊，繼續在殘餘網路上考慮。

其實只需要儘可能退流就好了，也就是求\(T->S\)的最大流，然後用可行流-最大流即可。

我寫的板子

Last

這套理論從這裡學的，這個博主好強啊orzorz