假設上界為 $r$, 下界為 $l$

無源匯可行流（迴圈流）

法一：

建立源點 $s$ 和匯點 $t$ ， 對於圖中每條邊 $<u, v>$ ，拆成如下三條：

• $<s,v> $ ，容量為 $l$
• $<u,t> $ ，容量為 $l$
• $&lt;u, v&gt;$ ，容量為 $r - l$

其中前兩條弧一般稱為附加弧。

然後對圖跑從 $s$ 到 $t$ 的最大流，如果所有附加弧都滿流，則有可行流。這時，每條非附加弧的流量加上它的容量下界，就是原圖中這條弧應該有的流量。

法二：

建立源點 $s$ 和匯點 $t$ ，對於每條邊建立 $&lt;u,v&gt;$ 容量為 $r-l$ 的邊。此外，對於圖中每個點，令 $節點所有入流下界和節點所有出流下界和d[i] = \sum i節點所有入流下界和 - \sum i節點所有出流下界和 $ 。求 $d$ 陣列：若有一條 $&lt;u,v,L,R&gt;$ 的邊，令 $d[u] -= L, d[v] += L$

若 $d[i] &gt; 0$， 建立 $&lt;s,i&gt;$ 容量為 $d[i]$ 的邊。

若 $d[i] &lt; 0$ ，建立 $&lt;i,t&gt;$ 容量為 $-d[i]$ 的邊。

然後跑 $s$ 到 $t$ 的最大流，若附加邊全部滿流，即 $maxflow = \sum d[i] &gt;0$

有源匯可行流

從匯點 $t$ 建立一條流向源點 $s$ 的邊，上界為 $inf$ 下界為 $0$ ,就轉化成了無源匯可行流。然後按照無源匯的判定方法建圖即可，需要建立一個超級源點 $SS$ 和超級匯點 $TT$ .求原圖中每條邊對應的實際流量的方法，同無源匯可行流，只是忽略掉弧 $&lt;t,s&gt;$ 就好。而且這時候弧 $&lt;t,s&gt;$ 的流量就是原圖的總流量。

有源匯最大流

判斷有解方法如上說述。而且一定要先判是否有解。

如果存在可行流，那麼在執行過有源匯可行流的圖上（就是已經存在流量的那張圖，流量不要清零），跑一遍從 $s$ 到 $t$ 的最大流（這裡的 $s$ 和 $t$ 是原圖的源和匯，不是附加超級源和附加超級匯），就是原圖的最大流。

有源匯最小流

同上方法判斷是否有解。求最小兩種方法：

1. 首先按照有源匯可行流的方法建模，但是不要建立$&lt;t,s&gt;$這條弧。

   然後在這個圖上，跑從附加源 $ss$ 到附加匯 $tt$ 的最大流。

   這時候再新增弧 $&lt;t,s&gt;$，下界為 $0$，上界為 $inf$。

   在現在的這張圖上，從 $ss$ 到 $tt$ 的最大流，就是原圖的最小流。

   理解方法：

   我們前面提到過，有源匯可行流的流量只是對應一組可行流，並不是最大或者最小流。

   並且在跑完有源匯可行流之後，弧$&lt;t,s&gt;$的流量就是原圖的流量。

   從這個角度入手，我們想讓弧$&lt;t,s&gt;$的流量儘量小，就要儘量多的消耗掉那些“本來不需要經過$&lt;t,s&gt;$”的流量。

   於是我們在新增$&lt;t,s&gt;$之前，跑一遍從 $ss$ 到 $tt$ 的最大流，就能儘量多的消耗那些流量了。

2. 把最小流的初始值設為 $T$ 到 $S$ 這條邊的流量，把 $SS$ 連出去的邊清掉，把 $T$ 到 $S$ 的邊刪掉，再在殘量網路上跑一次 $T$ 到 $S$ 的最大流，初始最小流減去這次的最大流就是答案。