一：簡介

1 位邏輯運算子：

       &  （位   “與”）  and
       ^   （位   “異或”）
       |    （位    “或”）   or
       ~   （位   “取反”）
2 移位運算子：
       << （左移）

      >>（右移）

優先順序

位“與”、位“或”和位“異或”運算子都是雙目運算子，其結合性都是從左向右的，優先順序高於邏輯運算子，低於比較運算子，且從高到低依次為&、^、| 

二：位邏輯運算

& 運算   ----------------------- -2個都為1-》1
0&1 =0;   
0&0 =0;
1&0 =0;

1&1 =1;

00111

&            =00100

11100

&運算通常用於二進位制取位操作，例如一個數 &1的結果就是取二進位制的最末位。

這可以用來判斷一個整數的奇偶，二進位制的最末位為0表示該數是偶數，最末位為1表示該數為奇數

-----------------------------------------------------------------

| 運算---------------------------1個為1--》1

0|0=0;   
0|1=1;
1|0=1;

1|1=1;

00111

|           =11111

11100

| 運算通常用於二進位制特定位上的無條件賦值，例如一個數|1的結果就是把二進位制最末位強行變為1

如果需要把二進位制最末位變成0，對這個數 |1之後再減一就可以了，其實際意義就是把這個數強行變成最近接的偶數

--------------------------------------------------------------------

^ 運算---------------------------不同則為1，相同則為0 // 當且僅當兩個運算值中有一個為1但不同時為1時，返回值為1

0^1=1；

1^0=1；

1^1=0；

0^0=0；

00111

 ^           =11011

11100

^運算通常用於對二進位制的特定一位進行取反操作，^運算的逆運算是它本身，也就是說兩次異或同一個數最後結果不變，即（a^b)^b=a；

^運算可以用於簡單的加密，比如原始值int a = 19880516;金鑰 int key =1314520; 進行加密 int data=key^a = 20665500;解密 data^key == a；

^運算還可以實現兩個值的交換而不需要中間變數，例如：

先看加減法中交換實現

void swap(long int &a,long int &b)

{

     a = a+b;

     b = a-b;

     a = a-b;

}

void swap(long int &a,long int &b)

{

    a = a^b;

    b = a^b;

    a = a^b;

}

所以 ^運算可以理解成類似加法（+）記憶 ， 1+1 =0，1+0 =1，0+1 =1；0+0 =0；//因為機器碼是二進位制，1+1=2%2 =0，其實不然

---------------------------------------------------------------------------------------------------

~運算

~運算的定義把記憶體中的0和1全部取反，所以~運算時要格外小心，你需要注意整數型別有沒符號，如果~的物件是無符號整數（不能表示負數），那麼他的值就是它與它的上界限的之差，因為無符號型別的數是用$0000到$FFFF依次表示的。

下面的兩個程式（僅語言不同）均返回65435。

var

     a:word;

begin

      a:=100;

      a:=not  a;

     writenln(a);

end.

#include <iostream>

using namespace std;

int main()

{

       unsingned short a = 100;

        a = ~a;

        printf("%d\n",a);

        return 0;

}

如果 ~的物件是有符號的整數，情況就不一樣了，詳見最後面整數型別的儲存

三：位移運算

<<運算

a<<b 表示把a轉為二進位制後左移b位（在後面新增 b個0）。例如100的二進位制表示為1100100，100左移2位後（後面加2個零）：1100100<<2 =110010000 =400，可以看出，a<<b的值實際上就是a乘以2的b次方，因為在二進位制數後面新增一個0就相當該數乘以2，2個零即2的2次方 等於4。通常認為a<<1比a*2更快，因為前者是更底層一些的操作。因此程式中乘以2的操作儘量用左移一位來代替。

定義一些常量可能會用到<<運算。你可以方便的用1<<16 -1 來表示65535（unsingned int  最大值16位系統）。很多演算法和資料結構要求資料模組必須是2的冪，此時就可以用<<來定義MAX_N等常量。

>>運算

和<<相似，a>>b表示二進位制右移b位（去掉末b位），相當於a除以2的b次方（取整）。我們經常用>>1來代替 /2（div 2),比如二分查詢、堆的插入操作等等。想辦法用>>代替除法運算可以使程式的效率大大提高。最大公約數的二進位制演算法用除以2操作來代替慢的出奇的%（mod）運算，效率可以提高60%。

int a =100;

a/4 ==a>>2;

位移運算運用 例子

1.合併資料

縮短資料：int a =4; int b=2;  可以將資料 a,b 保存於一個變數 int c中,在此int 型別為32位

a=0x0000 0004; / /十六進位制

b=0x0000 0002;

int c = a<<16;//左移操作-將a資料向左移動16位=0x0004 0000

 c |=b;  // （|）操作，一個為1 則為1，所以高16位不變，低16位值為 b值，即c = 0x0004 0002;完成資料的合併

2.解析資料

上面c = 0x0004 0002;

讀取高位：int a1 = c>>16; / / 右移16位，消除低位資料，讀取高位資料 a1 = 0x0000 0004

讀取低位：int a2 = c&0xFFFF; //（&）操作，2個都為1 則為1，所以0xFFFF 即 0X0000 FFFF, 所以高位全為0，低位的 1不變，0還是0，a2=0x0000 0002,讀取低位成功

讀取低位2：int a2 = c<<16; 消除高位，低位存入高位，a2=0x0002 0000;

                                 a2 = a2>>16;高位存入低位，消除低位; a2 = 0x0000 0002;

下面列舉一些常見的二進位制位的變換操作

去掉最後一位	101101->10110	x>>1
在最後加一個0	101101->1011010	x<<1
在最後加一個1	101101->1011011	(x<<1)+1
把最後一位變成1	101100->101101	x | 1
把最後一位變成0	101101->101100	(x |1) - 1
最後一位取反	101101->101100	x ^ 1
把右數第K位變成1	101001->101101,k=3	x  | (1<<(k-1))
把右數第K位變成0	101101->101101,k=3	x & ~(1<<(k-1))
右數第k位取反	101001->101101,k=3	x ^ (1<<(k-1))
取末三位	1101101->101	x &7
取末k位	1101101->1101,k=5	x & (1<<k-1)
取右數第k位	1101101->1,k=4	x >> (k-1)&1
把末k位變成1	101001->101111,k=4	x|(1<<k-1)
末k位取反	101001->100110,k=4	x^(1<<k-1)
把右邊連續的1變成0	100101111->100100000	x&(x+1)
把右起第一個0變成1	100101111->100111111	x|(x+1)
把右邊連續的0變成1	11011000->11011111	x|(x-1)
取右邊連續的1	100101111->1111	(x^(x+1))>>1
去掉右起第一個1的左邊	100101000->1000	x&(x^(x-1))

最後一個會在樹狀陣列中用到

整數型別的儲存

前面 所說的位運算都沒有涉及負數，都假設這些運算是在unsingned/word型別（只能表示正數的整型）上進行操作。

但計算機如何處理有正負符號的整型呢？這個設計到補碼，反碼知識點，請看下面

       假設有一 int 型別的數，值為5，那麼，我們知道它在計算機中表示為：00000000 00000000 00000000 00000101
5轉換成二進位制是101，不過int型別的數佔用4位元組（32位），所以前面填了一堆0。
       現在想知道，-5在計算機中如何表示？
      在計算機中，負數以其正值的補碼形式表達。

      什麼叫補碼呢？這得從原碼，反碼說起。

四：反碼，補碼

       反碼和補碼的目的就是為了解決負數的問題        在計算機內，定點數有3種表示法：原碼、反碼和補碼

       所謂原碼就是前面所介紹的二進位制定點表示法，即最高位為符號位，“0”表示正，“1”表示負，其餘位表示數值的大小。

反碼錶示法規定：正數的反碼與其原碼相同；負數的反碼是對其原碼逐位取反，但符號位除外。

補碼錶示法規定：正數的補碼與其原碼相同；負數的補碼是在其反碼的末位加1。

      有原碼就可以了，為什麼還需要反碼和補碼？

       

      反碼是用來算補碼的，原碼和補碼都是用在CPU的基本運算裡的，比如資料型別是short：   
      計算5   -   2，並由於實際上CPU沒有實現減法電路（注：計算機的硬體結構中只有加法器，所以大部分的運算都必須最終轉換為加法，原碼沒有辦法做減法，而在我們使用的彙編、C等其他高階語言中使用的都是原碼，原碼轉換成補碼都是在計算機的最底層進行的）。原碼計算是   5＋（－2）

     0101

  ＋1010

  -------  

      1111 

  ＝－7？顯然出錯
 所以不管正數還是負數，都使用補碼來表示（正數原碼和補碼是一樣的），  2的補碼是1110，然後用5補   +   2補   
      0101   
  +  1110   
  ------   
      0011   

  ＝3，正確

《補碼的運算方法詳見此連結》
所以理論上（也僅僅是理論上）我們只要讓減數通過一個求反電路，再通過一個+1電路，然後通過加法電路就可以實現減法了。  

所以補碼的設計目的是: 
⑴使符號位能與有效值部分一起參加運算,從而簡化運算規則. 
⑵使減法運算轉換為加法運算,進一步簡化計算機中運算器的線路設計

        原碼：在數值前直接加一符號位的表示法。

　　            例如： 符號位 數值位 　　                       [+7]原= 0 0000111 B 　　                       [-7]原= 1 0000111 B

        注意：a： 數0的原碼有兩種形式：
                           [+0]原=00000000B 

                           [-0]原=10000000B

　   　        b： 8位二進位制原碼的表示範圍：-127～+127

　　反碼：正數：正數的反碼與原碼相同。

　　            負數：負數的反碼，符號位為“1”，數值部分按位取反。

                   例如： 符號位 數值位

　                        　[+7]反= 0 0000111 B 　　                        [-7]反= 1 1111000 B 　   注意：a：數0的反碼也有兩種形式，即 　            　     [+0]反=00000000B 　   　              [- 0]反=11111111B 　          　b.：8位二進位制反碼的表示範圍：-127～+127

       補碼：

         1）模的概念：把一個計量單位稱之為模或模數。例如，時鐘是以12進位制進行計數迴圈的，即以12為模。在時鐘上，時針加上（正撥）12的整數位或減去（反撥）12的整數位，時針的位置不變。14點鐘在捨去模12後，成為（下午）2點鐘（14=14-12=2）。從0點出發逆時針撥10格即減去10小時，也可看成從0點出發順時針撥2格（加 上2時），即2點（0-10=-10=-10+12=2）。因此，在模12的前提下，-10可對映為+2。由此可見，對於一個模數為12的迴圈系統來說，加2和減10的效果是一樣的； 因此，在以12為模的系統中，凡是減10的運算都可以用加2來代替，這就把減法問題轉化成加法問題了（注：計算機的硬體結構中只有加法器，所以大部分的運算都必 須最終轉換為加法）。10和2對模12而言互為補數。

 

　　        同理，計算機的運算部件與暫存器都有一定字長的限制（假設字長為8），因此它的運算也是一種模運算。當計數器計滿8位也就是256個數後會產生溢位，又從頭開始                 計數。產生溢位的量就是計數器的模，顯然，8位二進位制數，它的模數為8=256。在計算中，兩個互補的數稱為“補碼”。

　    2）補碼的表示：

　　       正數：正數的補碼和原碼相同。 　　       負數：負數的補碼則是符號位為“1”。並且，這個“1”既是符號位，也是數值位。數值部分按位取反後再在末位（最低位）加1。也就是“反碼+1”。 　　 例如： 符號位 數值位 　　             [+7]補= 0 0000111 B

　　             [-7]補= 1 1111001 B

　　 補碼在微型機中是一種重要的編碼形式，請注意：

　　a： 採用補碼後，可以方便地將減法運算轉化成加法運算，運算過程得到簡化。正數的補碼即是它所表示的數的真值，而負數的補碼的數值部份卻不是它所表示的數的真                    值。採用補碼進行運算，所得結果仍為補碼。

　　b.：與原碼、反碼不同，數值0的補碼只有一個，即 [0]補=00000000B。

　　c.：若字長為8位，則補碼所表示的範圍為-128～+127；進行補碼運算時，應注意所得結果不應超過補碼所能表示數的範圍。

原始碼、反碼和補碼之間的轉化

        由於正數的原始碼、反碼、補碼錶示方法相同，不需轉換。

         在此，僅以負數情況分析。

          1）已知原碼，求補碼

                 例：已知某數X的原始碼為10110100B，試求X的補碼和反碼。

                 解：由【X】原=10110100B看出，X為負數。求其反碼時，符號位不變，數值部分按位求反；求其補碼時，再在其反碼的末位加1。

                  10110100 原碼

                   11001011反碼，符號位不變，數值取反

                  1+1

                  11001100 補碼

                 故：【X】補 = 11001100B，【X】反 = 11001011B。

           2）已知補碼，求原碼。

                 分析：按照求負數補碼的你過程，數值部分應是最低位減1，然後取反。但是對二進位制數來說，先減1後取反和先取反後加1得到的結果是一樣的，故仍可採用取反加1                    的方法。

                 例：已知某數X的補碼1110110B，試求其原碼。

                解：由【X】補 = 11101110B知，X為負數。

                 採用逆推法

                 11101110 補碼

                 11101101反碼（符號位不變，數值取反加1）

                 10010010原碼（符號位不變，數值取反）

                   演算法2：

                  設原始碼 =  A；可見A為負數

                  設反碼 = B；

                  因為補碼 = 反碼+1；所以

                   B +1 = 11101110；

                   B = 11101110 - 1 

                       = 11101101;

                   A =B取反（符號位不變） = 10010010；

有符號數運算時的溢位問題，看下下面兩個題目

兩個數相加怎麼變成了負數？？？

1） （+72）+（+98）=？

　　0 1 0 0 1 0 0 0 B +72

　　+

        0 1 1 0 0 0 1 0 B +98

　　1 0 1 0 1 0 1 0 B -86 　　兩負數相加怎麼會得出正數？？？  2） （-83）+（-80）=？ 　　1 0 1 0 1 1 0 1 B -83

　　+

        1 0 1 1 0 0 0 0 B -80

　　0 1 0 1 1 1 0 1 B +93 　　思考：這兩個題目，按照正常的法則來運算，但結果顯然不正確，這是怎麼回事呢？

 

　　答案：這是因為發生了溢位。

 

　　如果計算機的字長為n位，n位二進位制數的最高位為符號位，其餘n-1位為數值位，採用補碼錶示法時，可表示的數X的範圍是 -2的 n-1 次冪≤X≤2的 n-1 次冪-1 　　當n=8時，可表示的有符號數的範圍為-128～+127。兩個有符號數進行加法運算時，如果運算結果超出可表示的有符號數的範圍時，就會發生溢位，使計算結果出錯。很顯然，溢位只能出現在兩個同符號數相加或兩個異符號數相減的情況下。 　　對於加法運算，如果次高位（數值部分最高位）形成進位加入最高位，而最高位（符號位）相加（包括次高位的進位）卻沒有進位輸出時，或者反過來，次高位沒有進位加入最高位，但最高位卻有進位輸出時，都將發生溢位。因為這兩種情況是：兩個正數相加，結果超出了範圍，形式上變成了負數；兩負數相加，結果超出了範圍，形式上變成了正數。 　　而對於減法運算，當次高位不需從最高位借位，但最高位卻需借位（正數減負數，差超出範圍），或者反過來，次高位需從最高位借位，但最高位不需借位（負數減正數，差超出範圍），也會出現溢位。 　　在計算機中，資料是以補碼的形式儲存的，所以補碼在 c語言 的教學中有比較重要的地位，而講解補碼必須涉及到原碼、反碼。本部分演示作何一個整數的原碼、反碼、補碼。過程與結果顯示在列表框中，結果比較少，不必自動清除，而過程是相同的，沒有必要清除。故需設清除各部分及清除全部的按鈕。測試時注意最大、最小正負數。使用者使用時注意講解不會溢位：當有一個數的反碼的全部位是1才會溢位，那麼它的原碼是10000...，它不是負數，故不會溢位。 　　在n位的機器數中，最高位為符號位，該位為零表示為正，為一表示為負；其餘n-1位為數值位，各位的值可為零或一。當真值為正時，原碼、反碼、補碼數值位完全相同；當真值為負時，原碼的數值位保持原樣，反碼的數值位是原碼數值位的各位取反，補碼則是反碼的最低位加一。注意符號位不變。

總結

　　提示資訊不要太少，可“某某數的反碼是某某”，而不是隻顯示數值。

　　1.原碼的求法:

        (1)對於正數,轉化為二進位制數,在最前面新增一符號位(這是規定的),用1表示負數,0表示正數.如:0000 0000是一個位元組,其中0為符號位,表示是正數,其它七位表示二進位制的值.其實,機器不管這些,什麼符號位還是值,機器統統看作是值來計算. 正數的原碼、反碼、補碼是同一個數!

　　(2)對於負數,轉化為二進位制數,前面符號位為1.表示是負數. 　　計算原碼只要在轉化的二進位制數前面加上相應的符號位就行了. 　　2.反碼的求法:對於負數,將原碼各位取反,符號位不變. 　　3.補碼的求法:對於負數,將反碼加上二進位制的1即可,也就是反碼在最後一位上加上1就是補碼了.