著名數學家朱梧檟的發現揭示課本有一系列重大錯誤

——發現最小、大正數推翻百年集論破解2500年芝諾著名世界難題

黃小寧(通訊：廣州市華南師大南區9-303  510631）

(此文的壓縮版已公開發表在《科技視界》2014（10）)

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[摘要]論證有最大正數，各無窮序列都有末項，不存在對等於其真子集的無窮集，朱梧檟、肖奚安等4位數學家所言：“集合論中的無窮集都是自相矛盾的非集”不虛——意味一系列以非集為“無窮集”的“定理”和集論必是錯上加錯的更重大錯誤。證明元為正數且至少有兩元的集必有最小元使困擾科學界2500年的芝諾著名“運動不存在”世界難題迎刃而解，從而揭示二千多年“點無大小”公理是幾何學最重大根本錯誤——幾百年解析幾何一直存在極重大錯誤的根本原因。指出可證明各光滑曲線都是由充分短直線段連線成的，從而消除“△f≈df反例”悖論。邏輯學常識表明有標準數>R一切元。指出已知實數全體僅為實數全體的滄海一粟。試提出全新數學的冰山一角。

[關鍵詞]最小、大正數；最大和無窮大自然數；點有大小，線有寬度；座標軸(平面)的伸展及壓縮變換；元點之間均不相連的有空隙數直線；芝諾悖論；有序集從大到小一個不漏的每一元

人類自識正有理數幾千年來一直認定沒最小、大正數。推翻此“常識、定理”的“反科學”的神話般發現來自於太淺顯的一系列邏輯學和數學常識，例說“任何一個正數x都有對應y（x）<x”就是說y可<任何（所有）正數x。故凡懂集合的相、對等概念者都有能力評判本文的正確與否性而非只有極少數編書專家才能評判。問題是需保持有“皇帝新裝”中不會說假話的小孩那種童真才能看見明擺的真相，“新裝”中失去童真的大人不要說智慧火花，即使是智慧的燎原烈火，他也是視而不見的。

蘇步青：…實際上做了這樣一個基本假定：圓周上無限接近的兩點間的弧長等於對應弦的長度。對於更復雜的曲線的弧長也是據此基本假定給以定義並由此給出計算的^[1]。然而幾何直觀和“假定” （有待證明的猜想）是不能作為推導公式定理的理論依據的。幾何學斷定不論弧怎樣短都不可與對應弦重合成為弦使弧總比弦長。弧與不可彎曲的直線段不能重合。本文指出可證明書上常見的光滑曲線A實際上是由無窮多充分短直線段連線成的，關鍵是發現 A的元點都有與之相鄰的元點。袁萌教授在網上大力推薦K.D.Stroyan的專著《無窮小微積分的數學基礎》的封面上曲線與其切線不是相切於一個點而是相切於一直線段（blog.csdn.net/yuanmeng001/article/details/12768491）。

1.朱梧檟、肖奚安等4位數學家的覺醒：書中“無窮集”都是虛假集

敢說真話不願人云亦云隨大流的朱梧檟是基礎數學與邏輯學方面的世界著名專家，其名字和事蹟被列入《國際知識界名人錄》《國際上卓越的學術領導人辭典》。朱梧檟、肖奚安、杜國平、宮寧生4位教授、博導敢於實事求是地斷定：“集合論中的無窮集都是自相矛盾的非集^[2]”。也許其論據還有待繼續完善，但本文表明其論斷並非“怪論”，而是先知先覺地“在‘最不成問題’的問題中發現重大問題”。張喜安高階工程師也敏銳洞察到集論是自相矛盾的理論^[3]。朱教授敢於堅持真理地出版大著[4]後又力排眾議“極端孤獨”地出版“更愛真理”的大著[5]，公而忘私地毅然揭開集論的“無窮集”真相更令人欽佩。丁肇中深有體會：“99％的人反對你，不代表他們是對的。專家的評論是依靠現有的認識，而科學的發現是推翻現有的認識。”。

2.讓5千年都無人能識的最大自然數一下子暴露出來揭示中學數學有重大錯誤

h定理1：任何非空數集A={x}=B={y}的必要條件之一是|x|=|y|即y=±x，正如若A各元>0則B=A的必要條件之一是B各元>0一樣；之二是A～B。這表明y=±x外的一切y=y（x）的定義域必≠值域。若A、B的元分別是複數z₁、z₂則B=A的必要條件之一是|z₁|=|z₂|。

證：{1，2}各元x到0的距離是x>0，{1，2，3}各元x到0的距離是x>0。如[6]所述，A（或B）各元x（或y）到任一固定數例如0的距離是變數|x|（|y|），顯然若A與B是同一集則|x|與|y|必是同一變數且A=B～B。A（或B）各元z₁（或z₂）到z=0的距離是|z₁|（或|z₂|），若A=B則|z₁|=|z₂|。證畢。同樣可證有

h定理2：數偶集A={（x，y）}=B={（X，Y）}的必要條件之一是：A各點（x，y）到（0，0）的距離=B各點（X，Y）到（0，0）的距離；...。其餘類推。

本文所指座標系是直角座標系。後文表明兩點集是否相等不但與點本身有關且與表示點的位置的陣列有關。設各函式的定義域、值域分別都可由D和Z代表，DЭx（讀作“D各元x”）表示D各元都由x代表，x的變域是D，x、y∈B表示x、y所取數x、y都∈B。應有

h常識：“有下界的有序無窮集A從大到小一個不漏的每一元x都有對應變數y<x”表示至少有一數y<A每一（一切）元x。（否定此常識者反映其還未真懂變數概念而只會背書）例“不論哪一正數x都有對應y=x-1<x”就是說有數y<一切正數x；同樣Ｒ⁺Эx>y=x/2>0表至少有一正數y<Ｒ⁺所有元x。注！只會背書應付考試者不知“各元”是“無一遺漏的各個元素”的縮寫；“一一對應”中的“一”的含義之一：一個不漏。

定義1：A與B的元x與y:若可一一對應近似相等或相等即x↔y≈（或=）x就稱A≈B，若可一一對應相等即x↔y=x就稱A=B。顯然在未證有x↔y=x之前是不能斷定A=B的。

⊥地平面的R軸一個不漏的各正數點x∈R⁺全都離開原位地沿軸正向升高變成點y=kx（k>1）=x+△x>x>0（點還是原來的點而只是改變高度）生成射線Z，R軸顯然就至少空出一沒有點的正數位置x=x₀落在一切升高了的點y的下面即x₀<Z一切元y使 Z≠R⁺。y=kx>x>0的定義域和值域分別是R⁺和Z，據h定理1R⁺≠Z，據h常識ZЭy=kx>x∈R⁺表R⁺至少有一元x<Z一切元y。

滿足x、y∈R的點z=x+yi的全體組成複平面z=x+yi，相應有復直線z=x+yi（y=0）=x等。兩重合相等的點（集）稱為二重點（集）。兩R軸可成二重軸（R∪R=R={（x，x）}）。平面z的x軸即直線z=x的射線z=x≥0是各向量z=x≥0的終點的集合，這各向量（有箭頭的直線段）z都伸縮為向量z′=kz=kx（正常數k≠1）使各向量z的終點z全都離開原位（點z=0除外）地沿線保序不保距地前（或後）移到新位置z′生成新射線z′=kx與射線z=x≥0不可重合相等。理由：①不同的函式其圖象也必不同，例y=x²的圖象與y=x的圖象不同，故若兩圖形是同一點集則它們的相應函式必是同一函式。所以由複函式常識當正數k≠1時射線z′=kx≥0與射線z=x≥0不相等。②有h幾何常識：因相等的圖形必全等故不全等的射線z與射線z′必不相等。故有

h定理3：點集A=B的必要條件是A≌B（點集甲保距變為點集乙就稱甲≌乙，不論集有多少個元點。）。

h定理4：有下界的有序無窮集WЭx變大為y=x+△x>x組成Z不可包含W，因W至少有一元x<Z一切元y。

證：由h常識ZЭy>x∈W表W有元x<Z一切y。證畢。

據h定理4、1，中學幾百年“定義域是（0，1）的y=2x（>x>0）的值域=（0，2）”及“定義域為(0,1)⊂R⁺的y=2x>x>0的值域=（0，2)⊂R⁺”等等，是一系列搞錯變數的變域的重大錯誤——使人們誤以為病態b論“部分可=全部”是“革命發現”。“沒最小元”的A=（1，2）Эx>0變大為y=3x組成Z（中學斷定Z=（3，6））不可包含A，同理U=（0，1）Эx>0全都“上升”變大為y=3x組成W不可包含U一切元x；否則何來“全都變大”？故中學“W=（0，3）”是違反邏輯學常識的。

定義2：若數集A各元可兩兩配對成一數偶集（配對前後的集是同一數集）就稱A是偶型數集，否則稱為奇型數集。相應有奇、偶型級數、數列。奇型集中可配對的元都配對後必剩下一“單身”元。{1，2，3，4}與{（1，2）（3，4）}是一同數集。

h定理5：N={1，2，...，n，...}有最大元n。

證：①N各元n的後繼y=n+1的全體組成B′～N。N中1後面的一切元n≥2組成B⊂N，BЭn=q+1(q=1,2，...)都是其左鄰q∈N的後繼q+1∈B′說明B′包含B。BЭn≥2的絕對值是ρ₁（n）=n≥2，B′Эy=n+1（n≥1）的絕對值是ρ₂（n）=n+1（n≥1）≥2；顯然ρ₁與ρ₂不是同一函式（前者的n≥2不可取1），據h定理1B′≠B。包含B的B′≠B⊂N說明B′中必至少有一B外正整數元y₀=n₀+1>n₀∈N，顯然n₀是N的最大元n——其後繼n+1是B外即N外數。偶型N={（1，2）（3，4）…}（此數偶集同時也是數集N，其數元在兩兩配對（即加括號）後還是原數集。）中1後面的一切數n≥2組成B={2）（3，4）（5，6）…}⊂N中的2沒B中數與之配對，除非拆散某對數而又生一“單身”數——表明B是奇型集（不可既是數集同時也是數偶集）而≠偶型B′～N。不知集有奇、偶型之分就會將兩異集誤為同一集——導致全盤皆錯的最重大根本錯誤。

②據後文的h定理10～N的B′的元多於B⊂N的元——說明B′必有B外元n₀+1>n₀∈N，顯然...。若N由一切非0自然陣列成則n+1等是超自然數。後文還要續證有n。

顯然凡滿足h條件：“其各項可兩兩配對且每對項的數的代數和都是0”的級數必=0，不論其是否發散。故x=1-1+1-1+…=0 表示x滿足h條件。偶型數列：（-1,1）（-1,1）…的所有數的和h=(項1+項2)+(項3+項4)+…=∑（-1+1）（無窮多個（-1+1）的和)）=0（注：h各項都≠0）是因式中各不同位置上的1與-1一樣多而可一一配對，故h去括號後還是原級數。去掉h的首項-1得奇型h-（-1）=1（是h的第2項）+∑（-1+1）=1而≠0是因h+1不滿足h條件。

設級數都可由字母代表。若y=∑1與-y=∑-1分別都有“可數無窮多個”（以下簡稱“可數個”）項，則±y的所有項的數的和：y+（-y）=∑（1-1）=0。框框內的無窮數列{-1}、{1}分別都有可數個項，各-1與各1一一配對成一無窮有序數偶列{（-1，1）}在框內，框內所有±1的和s=（-1+1）+（-1+1）+… =0（注：s各項都≠0），去掉s的首項-1得奇型

s-(-1)=（1）+∑（-1+1）=1

中兩等號之間的和式中的1個1成單身；這和式保留s的全部1但只留有s的部分-1；集論斷定這部分-1還是有可數個而可與s的全部1一一配對，從而使奇型s+1也滿足h條件而=0,即斷定s+1=1+（-1+1）+（-1+1）+…=1+0的兩等號之間中各不同位置上的1與-1可重新一一配對(例各-1都改與其左鄰的1配對)而有s+1=(1-1)+(1-1)+…=0。那麼s就非一確定數0，s+1也非一確定數1。所以極限論之前2百年的級數常識：s=0與s+1=1, 斷定s+1不滿足h條件，間接斷定s+1中的1與-1是不可重新一一配對的,即間接斷定：框內任一數列單獨去掉首項後餘下的數不可與另一列全部數重新一一配對——級數常識推翻集論。

3.科學應補上的變數與代數啟蒙知識——掃數盲使人猛醒：“x軸各點與各實數一一對應”定理和“R完備”論是百年重大錯誤

區間（0，1）ÌR表示R中0與1之間所有陣列成的集,其餘類推。“一個變數就是一個數學符號，通常用x，...來表示，它被用來代表某一數系中的某一子集D中的任一元素。該數集D叫做這個變數的變域^[7]。”可見“變數x”中的x既是變數同時也代表其變域D內任何定量，不能只知其一不知其二，x所取各數也均由x代表，DЭx都有一個共同的“名字”叫x。固定數是變數中的一種：變域內只有一個數的變數。不等式起碼常識：說“D=Ｒ⁺Эx>0都有對應y=x-1<x”就是說y可<R⁺一切元x，因式中x可一個不漏地遍取Ｒ⁺一切數x使代表數的y必可一個不漏地遍比Ｒ⁺一切x都小而代表（取）Ｒ⁺外數；同樣，中學“R⁺Эx>0都有對應標準正數x/2<x即Ｒ⁺Эx>y=x/2”（據h常識）表示（y的變域中）有標準正數y<Ｒ⁺所有元x。關鍵是連文盲也知“一個不漏”“一切”的確切含義。應有代數常識：變數y<x表示x（或y）的變域X（或Y）Эx（或y）都有對應數y（或x）<（>）x（或y），故此式所代表的內容之一：①有數y<X一切元x，或：y可變至<X的任何數x而取（代表）X外數；②有數x>y的變域Y內一切元y。學習數學最關鍵是須明白表示式中各字母、符號所代表的全部含義，否則就如文盲不識字那樣不識表示式所表達的內容而成數盲。鸚鵡是數學盲，儘管其也許能“解題”,正如文盲不懂（甚至搞錯）射擊原理卻照樣能成神槍手一樣。據h常識“由一切標準正陣列成的Ｒ⁺Эx>y=x/2>0”表有非標準正數y<Ｒ⁺所有元x。

中學斷定U=（0，1）Эx>x/2=y>0，據h常識這表示y>0可<U一切x而取非正數——矛盾;鮮明對比的是將y=x/2換為y=x-1就沒矛盾。同理，書上“R⁺Эx>y=x/2∈R⁺”“含全部正數的Z⁺Эx>y=x/2>0”都是病句：R⁺（Z⁺）有正數元y<R⁺（Z⁺）每一（一切）正數x；…。故中學和集論中此類“R⁺、U、Z⁺”等等都是自相矛盾的子虛烏有的假無窮集。建基於重大病句和假無窮集之上的“理論”必是錯上加錯的更重大錯誤。

4.直線出現空洞的原因揭示x軸有上、下界點——對射線(無窮集)的認識一直存在極重大根本錯誤

相對論中的運動座標系的座標軸是可沿軸保距平移的。中學生就須知道定義域為R⁺的y=x+1的值域=？即由x>0（變域是R⁺）得x+1=y>1中y>1的變域（射線x>0沿線正向平移距離1得射線y=x+1>1）=？注：說R軸各元點x可變換為點y=x+△x=x+1>x就是說R軸可沿軸正向平移距離1變為y=x+1軸。其餘類推。R一切非負元x≥0組成A（中學記A=[0，∞）），A一切≥1的元x≥1組成Z⊂A（中學記Z=[1，∞）），R⊃AЭx≥0保距變大為y=x+1≥1組成Z′（中學斷定Z′=Z）；Z′Эy=x+1的絕對值是y=x+1>x≥0，而ZЭx≥1的絕對值是x≥1，據h定理1 Z′≠Z。Z⊂A的元x≥1都可表為x=1+x′>x′（≥0）∈A（其中x′=x-1≥0的變域是射線x≥1沿線負向平移距離1而得的射線x′=x-1≥0）說明ZЭx都∈元是y=x+1的Z′，包含Z的Z′≠Z⊂A說明Z′中必有Z（現有數學記Z=[1，∞））外的元y₀=x₀+1>1，顯然y₀>Z一切元。復射線z=x≥0平移成的射線z+1=x+1≥1與射線z=x≥1顯然不相等，中學數學一直將這兩異線誤為同一線。

如有地名那樣，“位置x”中的x就是該位的“名字”。空間位置本身是不動的，而圖形的點x可移位，挖去x軸一個點x就空出一位置“洞”x說明x軸由點x與容納點的位置洞x兩部分組成。⊥地平面的R軸各元點x都在位置洞x內即點與位置已一一配對：點x↔位置x。現各非負數點x≥0沿軸正向保距上移距離1變為點y=x+1≥1生成射線Z′(元是點y≥1)使R軸原線段[0,1)內各位置x都變成空洞單身。出現空洞的唯一原因是與空洞一樣多的原軸內點都被挖去或移出軸外（射線的平移是剛體運動，各動點沒縮小也沒與別的點有重疊部分等。）——此邏輯學常識表明上移點y≥1中必有部分點y移出了R軸而處在R軸一切位置洞的上面使Z′不是R軸的一部分，即射線y=x+1≥1“刺破了天”：有部分元點y突出在R軸一切元點的上面而推翻“R完備”論、r定理：“x軸各點與各實數一一對應”。這形象直觀地表明：R軸是無窮長直線段；如一直線段任意平移後還是原線段而只是改變了位置那樣，任一射線θ沿線正向平移一段距離得射線β還是原射線而只是改變了空間位置，β並非θ的一部分。

所以“上述射線可上移使R軸出現空洞卻又沒原軸內點能移出對加法封閉的軸外”中的“R軸”是不合邏輯的“自相矛盾的非集”。“大道至簡至易”：若數軸的剛性元點沒被挖去也沒移出軸外，點之間也沒重疊部分，就絕不會出現空洞。上述啟蒙知識和語文常識表明“R⁺內從小到大一個不漏的各元x都有對應標準數y=x+1>x”表示至少有一標準數y>R⁺一切元x，y=x+1>x>0表示y必可>x的變域R⁺一切元x而取R⁺外正數。

5.幾何常識顯示幾百年解析幾何一直有極重大根本錯誤——數軸伸縮後就非原軸了

相似變換將影象放大（縮小)。設長為1的一截橡皮筋s是橡皮點的集合，各橡皮點（正方體）都有中心，規定兩橡皮點之間的距離是它們的兩中心的連線的長。將s拉長後（或放大鏡下）各橡皮點都變長了使點與點間的距離也變大了，這是一種有序集的元的保序增距變換。將s拉長為長是2的s′～s,但s不是s′的一部分, 因s′的元點的長>s的元點的長。x軸各點x保序不保距地變為點X=2x，x軸就均勻伸長變換為元是點X的X=2x軸使線段[0,1]Ìx軸伸長變為元是點X的沒空隙線段[0，2]ÌX=2x軸。後文證明點X的長度2倍於點x的長——數軸也有因點變長（短）的伸縮變換——這是“化學變化”：改變了組成線的“分子”。將“分子”點不同的線混為一談就如將棉線誤為銅線那樣是根本錯誤。

x軸A伸縮變換為X=kx軸B[正常數k>（<）1時是彈性伸長（壓縮）變換]。據h幾何常識由A不≌B（伸縮變換是非保距變換）知A≠B。

h定理6 ：x軸變換為X=X（x）軸疊壓在x軸上，x軸=X軸的充要條件是X=x。（證：x軸各點x到原點x=0的距離是|x|，X軸各點X到原點X=0的距離是|X|，若兩軸是同一軸則這兩距離必是同一函式即|X|=|x|,亦即X=±x,式中:X=x是恆等變換，X=-x是...,而X=-x軸是與x軸方向相反的軸。故定理得證。）

X=kx（k>0）軸是可伸縮變換的軸，其可沿軸平移距離|c|變為X′=kx+c軸，...。據h定理6X=kx（k≠1）軸≠x軸。所以直線y（x）=0與直線y（2x）=0不是同一直線（兩y的x的變域均是R），前者是x軸即R軸，後者是X=2x軸；同理直線y（x）=3與直線y（2x）=3不是同一直線；...。故中學解析幾何一直將X=x軸與用而不知的X=2x軸、X=（x/2）軸、X=kx+c（c≠0）軸、X=x³軸、X=x³+c軸、…等無窮多各異軸誤為同一軸：X=x軸，繼而將無窮多各根本不同的相應平面等誤為同一平面R²等。

RЭx×k（k>0）變為y=kx得元是y的集可記為kR，RЭx變為y=x+非0固定數c生成的集可記為R+c。據h定理1，①R≠R+c，R≠2R且≠（1/2）R且≠…，故R×R≠2R×2R且≠2R×R且≠2R×3R且≠…。故定義域是R的y（x）=kx（k是非1正數）的值域是kR而非R。②中學“定義域均是R⁺的y=kx>0、y=x²>0、y=x³>0、y=>0、...的值域均是R⁺”等等，是一系列搞錯變數的變域而將兩異集誤為同一集;定義域為R的直線y(x)=kx+c是R×(kR+c)的子集,y的值域是kR+c。

據h定理1線段L=[0，3]ÌR軸被砍去一部分（1，3]ÌR軸而變短成為[0，1]ÌL與L收縮變同樣短（L各點x變為點X=x/3生成元是點X的沒空隙的[0，1] Ì（1/3）R軸有根本區別。

按“橡皮幾何學”觀點R²面可看成由彈性膜做成,可隨意伸縮。R²均勻彈性伸張或收縮後各元點之間的距離就變大或小了，此類非保距變換前後的點集不全等，當然就更不相等（據h定理2也得此結論）。R²面有單位圓⊙₁：ｘ²+ｙ²=1。R²各元點（x，y）變為點（X=2x，Y=2y），R²就整體彈性伸張變為元是點（X，Y）的（2R）²即XY面，使x軸、y=x軸ÌR²分別被伸長變為X=2x軸和Y=2y軸Ì（2R）²，同時使⊙₁被拉伸而膨脹變大為⊙₂：（將X=2x與Y=2y代入⊙₁的方程得）（X/2）²+（Y/2）²=1即X²+Y²=4。後文指出解析幾何一直誤以為⊙₁與⊙₂是同一R²面的圓ÌR²。z平面伸縮為kz（正常數k≠1）平面顯然≠z平面。

6.由數學定理竟推出數學動點根本不能動——書上數軸是自相矛盾的假集

學習研究數學的目的之一是定量描述運動物體的位置的改變。現實中由大到小取值的變數比比皆是（例自由落體的高度）決定了數學中由大到小取值的變數比比皆是,例沿x軸負向運動的點。點x→c到點c的距離ρ≥0是由大到小取值的有序變化的有序變數，稍有一點頭腦的人都知道ρ必取盡變域D所有正數後才能取0=x-c即ρ必取到無正數可取了才取0。但有定理斷定ρ→0每取一正數ρ後總還有後續正數如ρ/2∈D要取而總不能取到無正數可取從而更談不上能取0——尖銳自相矛盾！可見困擾科學界2500年的著名“運動不存在”芝諾悖論實質上是深刻揭示不能真正用數來表達運動的數學危機。在科學界不但不察存在2500年的數學危機反而還將有過人科學洞察力的芝諾斥之為詭辯家的“科學共識”反映一種劣勝優汰現象，這使人不能不感嘆2500年前的芝諾的科學洞察力遠在不少當代人之上。數學、物理學家蘭佐斯是明白人，他清醒指出：不能否認，我們碰到了一難解之謎（這是世界難題——黃小寧按）。我們知道連續性這個概念，可我們卻不能夠把它描述出來。我們觀看一運動物體從位A移到位B，但卻不瞭解這是怎樣發生的。…。聰明的芝諾曾用他那…著名悖論非常形象地描述了連續性的這種矛盾的本質。(蘭佐斯《無窮無盡的數》157頁，中譯本）因x數軸是連續的故沿軸從原點o→x=1處的動點x不經過與o只相隔1個、2個、…有窮多個點∈x軸的階段就絕不能進入與o相隔無窮多個點∈x軸的階段，正如一人不經過兒童期就絕不可進入少年期一樣；但有定理斷定此點x所能到達的各正數位置x都與o相隔無窮多個正數點∈x軸——顯然抹殺了x有序漸變的連續變化性,故此定理使書上x軸“是自相矛盾的非集”。產生邏輯悖論是因主觀認識與客觀實際不符。點的有序連續變化規律：沿一維空間K運動的點從一位置y有序連續運動到另一位置y+△y若不首先與y只相隔有窮多個位置點∈K就絕不可與y相隔無窮多個位置點∈K;同樣...。

由大到小取值且變域為[1, 2]⊂R的x有最後一次的取值即其取數過程是有完有了的。真正的無窮集必是“無窮無盡”與“有窮有盡”的對立統一體。

7.h常識和上述啟蒙知識讓幾千年初等數學一直未能識的最小正數一下子暴露出來——百年極限論一直存在重大錯誤

設數學內的所有實（正）陣列成S（S⁺）。中學幾千年“常識a”：“任何正數y=k（y/k）,k>1”使自有函式概念幾百年來數學實際上一直認定S⁺Эy都有對應正數y/k=x∈S⁺即S⁺Эy>y/k=x∈S⁺。據h常識這就是說S⁺有正數x<S⁺一切正數y——病句。故真正常識推翻“常識a”。有序集的元與元之間是可有上下（前後、左右）順序關係的（例負數是0下數，...），可將比x小（大）的數形象化地稱為位於x下（上）面的數，不同的數必處在不同位置。“任何一個（全稱量詞）正數y的下面都有數”=“所有正數y的下面都有數”顯然表示有數在所有（任何）正數下面，只有一字之差的“任何一個正數y的下面都有正數”是病句：有正數位於所有正數下面。據上述啟蒙知識說y>x=y/2>0中的y可取一切（任何）正數就是說x>0可<一切正數而取非正數。這一非弱智人都能明白的不等式常識說明並非每一正數y的下面都有對應正數 y/2——意味必有未知正數y的下面沒對應正數 y/2等。說⊥地平面的“y軸中由大到小一個不漏的各個正數元點y的下面都有正數點=y/2∈y軸”就是說y軸有正數元點在y軸一切正數元點的下面——病句。所以此“y軸”是“自相矛盾的非集”。

h定理7：元為正數且至少有兩元的V⁺必有最小元。

證1: V⁺中至少>一個元∈V⁺的元y必可表為y=k（y/k）=kx>x∈V⁺而有對應y/k=x∈V⁺，其中k>1是任何使kx∈V⁺的ｋ>1；稱此類元y具有性質a。V⁺中有性質a的元y=kx>x>0的全體組成Z⊆V⁺。據勾股定理有無理數,據上述啟蒙知識及h常識ZЭy=kx>x∈V⁺表V⁺至少有一元x=x₀<Z一切元y而沒性質a即x₀沒對應正數x₀/k∈V⁺而不可>任何別的正數∈V⁺從而是V⁺最小元。

證2:獨立變數y>0與非獨立變數y>0有根本區別。變域是Z的y=kx>x>0中的y（x）被限制所取各數y都須有別的正數x=y/k∈V⁺與之對應從而不可不受任何限制地遍取V⁺一切數，說y=kx>x∈V⁺可取V⁺一切數就是說式中x可<V⁺一切數而取V⁺外數——矛盾。鮮明對比的是獨立變數y=x>0就可遍取V⁺一切數，因其所取各數y無須被限制一定有≠y的正數∈V⁺與之對應。證畢。

據h定理7，①任何距離函式ρ≥0的變域都有最小正數元——使芝諾著名“運動不存在”世界難題迎刃而解；②V⁺=S⁺有“更無理”和“更虛”的最小元y=0′使相應符號y/2等，或不能代表數（此時y≠2（y/2）），正如當 x=0時c/x 不能代表任何數一樣；或代表數學以外的另類正數，正如比普朗克長度短的非0長度是物理學外的長度一樣。S⁺外的“正數”要麼不是數，要麼是數學外的數。

可用另一方法證U=（0，1）有最小元：S⁺⊃L=(0，k>1) =U∪[1，k）中的U=（0，1）Эx>0變大為y=kx∈L 組成Z⊆L。將S⁺中滿足y=k（y/k）=kx>x∈S⁺的元y=kx（k>1）稱為平凡正數，因這各y=kx都是由式中x變大為kx而來的，故據函式知識Z是L中一切平凡正數y=kx>x∈U組成的集。據h定理4U至少有一正數元x<Z一切元kx>x，此Z外的x∈U顯然是非平凡正數x而沒對應正數x/k∈S⁺——說明此x=0′。據h定理1L≠Z（LЭx=y的絕對值是獨立變數x=y>0，ZЭy=kx的絕對值是非獨立變數y=kx>x。），其實L的元為x>0而Z的元是y=kx>x也從一側面說明L≠Z，包含Z的L≠Z表明L中至少有一Z的元。

以上中學生都能看懂的一系列論據還很不夠，後文對0′還要作更有力的證明。發現0′說明“[0，1]Эx的對應數y=kx（k>1)的全體組成[0，k]”等等，是一系列重大錯誤。

極限論的j式:ε>ρ=|x-a|（正無窮小）>0中的ε表示什麼？ε可是0.1，可是0.01，可是...，...——可是任何有窮正數。據變數定義ε是每取一個數ε都可固定一下的變數，凡變數必有變域，故ε是其變域E的任一元。能由j式中的ε代表的數的全體E就是此ε的變域。由h常識EЭε>ρ>0表有無窮小正數ρ<E一切元ε。有教授說ε是“除了正數外，不受任何限制，即它可以是任何正數^[8]”；許品芳等編《高等數學（上）》5頁：“對於任何正數ε”“ε代表著任何一個正數”（兵器工業出版社，1992）；2003.8出版的[9]書63頁：“對於任何正實數ε”“對於任一正（實）數ε”；...。按此說法j式就是重大錯誤：說ρ>0可變至<任何正數ε而取非正數。非頭腦遲鈍的學生都能看出這一非常明顯的事實，因非數盲者都能一眼看出:說j式與c=0<ε中的ε均是任何正數就是說變數c=0（變域內只有一元）與ρ>0都可變至<任何正數而取非正數。故中國大陸多數編書者都改說ε是“任意取(給)定的正數”（不說在哪一範圍內任取且特意不用j式來定量闡明正無窮小概念）且認定這與“ε是任何正數”不等價（否則就不會作此改動）。然而標準數學中常見此推理：0≤|A|<ε，由ε的任意性知A=0（孫念增譯《高等數學教程二卷二分冊》328頁：L-b<ε，由於ε的任意小性，可肯定L=b。）——等價於說：因ε是任何正數故非負的|A|<ε必=0。因若有正數不可由ε代表就不能斷定|A|=0。但這一出爾反爾就不易被初學者察覺了；掩蓋矛盾與消除矛盾有根本區別。“常數中只有0才是無窮小”的依據是“正數與0中只有0才可<ε”。這使標準數學自相矛盾,因j式中取正數的ρ可<ε（意味有正數ρ<ε）。所以極限論一直有重大錯誤:直接或隱蔽地變相斷定ρ>0可<任何正數而取非正數。鮮明對比的是“任何有窮正數ε>ρ>0”就非病句。有專家說：A是數而j式中的ρ是變數而不是數，故你說的矛盾並不存在。但至少可取兩數的ρ是變數而不可取數的ρ不是變數，數與數之間才能比較大小，而非數的“鬼魂”ρ竟也>0和＜ε；A與變數ρ的區別只是：A的變域內只有一個數，ρ的變域內至少有兩個數；只能代表一個數的A是數，至少能代表兩個數的ρ竟反而不是數？！越辯解就越是一片混亂啊！起碼數學常識：j式表示ρ是介於0與ε之間的數或是取（0，ε）內數的變數。然而教授說：“它是一個變數，它不代表任何確定的數，...^[10]”（注：變數的變域是由確定的陣列成的集）。這使不敢懷疑教授會犯常識性錯誤的學生不禁感嘆：數學真是高深莫測啊！

j式的ρ∈R⁺說明標準數學暗含無窮小正變數ρ<ε，R中暗含<ε的正數ρ₀<ε，不論你指定哪一有窮正數ε都有ρ₀<ε。否認存在這類正數與否認無理數一樣都使數學自相矛盾。詳論見[11][12]。

8.起碼數學常識顯示有未識正數不可10¹⁰倍於別的正數∈S⁺——洞察x→0也有無限變大的另一面

y=x/10¹⁰+x=θ+10¹⁰θ>0中的末項x=10¹⁰θ≫θ>0總不可忽略即y≈x/10¹⁰+0總不成立是因可→0的x(變域是D)與首項x/10¹⁰=θ相比實在是總距0太遠了從而遠不可視其為0而忽略——說明→0的x也有相比下總距0太遠的另一面從而遠不可進入數學一直未能察覺的0的某充分小鄰域內！在高精度近似計算中凡有變數x>0不可略必表明x相比下總距0極遠。DЭx=10¹⁰θ≫θ>0 直接表達DЭx分別10¹⁰倍於別的正數從而相比下都是距0極遠的≫0的極大正數（凡可10¹⁰倍於別的正數∈S⁺的正數都∈D）。各元(相比下)均為極大正數的集遠不能包含所有正數——凡違反此起碼邏輯學常識的集必是自相矛盾的假集。故中學“既含全部正數而又各元x（≫x/10¹⁰>0且≪10¹⁰x）相比下都是極大（小）正數”的“正數集”是假集。自相矛盾的理論是有頭腦且不願盲從者無法接受的理論，從而極難學難教。絕不可將可取一切正數的x視為0而忽略——此起碼數學常識否定“D含一切正數”——說明D外有數學一直未能識的正數x而沒對應數x/10¹⁰∈S⁺。“各已知正數x≫x/10³≫x/10⁶≫…≫…相比下全是距0無限遠的極大極大…（無窮多個極大）的無窮大正數x。只識此類x猶如上述的只識光年尺度^[13]”遠不夠用，遠不能滿足用數來表達運動的需要。

y=x²+x(0<x<c=10^-10)不≈x²+0的原因是一次項x<c相比於x²總距0遠而不近從而不可視其為0而忽略，即x→0總不能小到微不足道的程度，相反，其總大到不可略的程度。其中x²可形象化為一□面積，x=1×x<c是長為1千米，寬是x<c千米的長方形K的面積。影象顯示K的面積x≈x²總遠不成立，唯一原因是差x-x²≈x→0相比下總距0太遠從而遠不可忽略。近似常識表明x→0的變域內各數x相比下全都是不可略的極大正數。但中學“定義域為D′=（0，c）的y=x+x²”和百年極限論又斷定x能不受任何限制地任意逼近0取D′一切數。3百年微積分一直無法消除此尖銳矛盾從而對非常重要的近似計算只知結論而不能說清原理。

科學極不發達期水分子的極渺小性掩蓋了其也有無限可分的無窮大性，數學極不發達期x→0的一面掩蓋了其也有被限制相比下無限變大的另一面：x/x²=1/x→∞顯示分子x(0<x<c)→0與分母x²→0相比是越變越大無窮變大：x<c在不斷變小的同時也不斷變大:越來越≫x²而可無窮大倍於x²。這使x→0遠不可進入0的某充分小鄰域內！y=x²>0中的x→0只能在自己的變域內任意逼近0而非能在整個數學領域內任意逼近0；...。極限論誤導人們以為只要定義域為R的y=x²+x與x²的非0距離|y-x²|=|x|→0在恆<ε時就必可視x為0而略：y≈x²+0（非0的|x|<ε）≥0，從而誤以為y在x=0處有極小值0而搞錯曲線y在x=0附近的性態、形狀。

近與遠是相比較而言的。何謂質點？愛因斯坦：“一個大小可忽略不計的物體，就作為一個點。”（《愛因斯坦文集（一）》204頁，中譯本，1976年）在光年尺度下地球是質點，北京與廣州相距極近而處於宇宙的同一位置：都在地球內（與宇宙相比地球是微塵）;但在公里尺度下兩地相距極遠,只識光年尺度是遠不夠的。同理，0<x<任何有窮正數ε時y軸上的點A(y=1+x)與點B(y=1+x²)兩者分別無限靠近點y=1的程度是有重大差別的另一面的，雖然兩點的距離：1+x-1-x²=x-x²≈x<ε。研究函式在點p鄰近的性態應以p為新原點建立區域性座標系。

9.二千幾百年“點無大小”使幾何學一直不能自圓其說

挖去x軸全部點，x軸就變成位置洞集。“長度都=0的位置洞能形成長≠0的洞集”是不合邏輯的。設x軸各元點不可重疊(合)在同一位置上使沿x軸移動的元點只能移動到空位內；x軸沒空洞使各元點能沿軸移動的最大距離是0，正如擠滿人的電梯內的人都沒運動的空間一樣。挖去x軸原點就空出一位置洞x=0（可供點運動的空間），這有洞x軸的線段h=（0，1]各點x都沿軸負向平移一個點的長度距離ρ₃到空位內形成元為點x′=x-ρ₃的線段[0，1-ρ₃]Ì有洞x軸從而又生一新空位x=1，h所平移的距離ρ₃是容納原點的位置洞的長度。“ρ₃=0”就是說h能沿軸移動的最大距離是0即1-ρ₃=1。這與事實不符——產生科學悖論的原因。h若沒移動就不能使原有的空位內又有點了。故“=0”是自相矛盾概念。不能因不識未知正數ρ₃就否認h可平移的事實。又例因“點是點集的一部分”，故“長為0的點能聚整合有長線段”中的“線段”是明顯不合邏輯的假無窮點集。故“點無大小”公理是不合邏輯的自相矛盾概念(這是數形結合出現“全部點可與部分點一樣多”“分球怪論”等形形色色怪論的根源)。後文還要續論此事實。故須提出符合客觀實際的“點”概念。“點”的問題是點集論與幾何學的最根本問題。

10.提出數容器概念推翻百年集論從而可看圖識N的無窮大元——有首項的無窮序列都有末項

1，3，2中有數改變了位置就形成另一數列3，1，2了。可見數列不但與數有關且與各數的所在位置有關，故其一項中有兩個成員：數和數所在位置。直線是由其畫素點各就各位地分別佔據一定位置而形成的，同樣數列{a_n}無非是各數各就各位地進入各指定位置“座位”排成的一行（列）數，各座位與各a_n已一一配對：a_n↔n號位。座位可由○形象表示（也可將○看成是隻容一數的數容器），挖去一數就留下一單身位置○, 正如挖去複平面一個點就留下了一個“洞”那樣，挖去全部數就留下空位○序列。故可記數列N={①②③...},其中○表示數的座位，僅僅挖去其全部奇數而非奇數項就得與其等長的L：○②○④○...，“拆東補西”地讓各n=2q都移入q=1，2，...號位得②④⑥…；○○...中各n=2q都換為q得①②③...；○○...——前列是“夫妻”列，後列是空位列，因“拆東補西”前、後的單身空位是一樣多的。各空位的位號數n顯然都是無窮大自然數>前列一切數q。詳論見[14]。

N中各數可交換位置，看圖可知一ｎ前移“奪佔”ｎ′的座位○的同時其原座位也變空而在ｎ後，這是一對一的，故被奪佔位置的數都可後移到空位上。故當N各偶數n=2q都前移到n=q號位（被奪座位的數可後移而總有空位與之對應）後就得K：②④⑥…；…——因K還含N全部數故K中有兩無窮數列：前列Q含N全部偶數，後列的數都是奇數j_n（n=1，2，…）∈N且都處在K一切偶數n=2q的後面而都與②相隔無窮多個數；故K中有首項是②，末項的數是j_n的各無窮數列。朱梧檟大著[4]218頁中含N全部數的“2，3，4，…，n，n+1，…，1”中的1是該數列的末項。

h定理8（改天換地的改偶定理）：無窮“夫妻”數偶集F={（x，y）}內“男、女”雙方的“人”之間任意重新配對（有的人“喜新厭舊另結新歡”改配偶使有的人變成“單身”，…。）後，一方出多少個單身，對方也必只能出多少個單身。

證：F中任一非“單身”改與另一非單身配為新夫妻的各自原配偶就成分屬男、女方的一對單身，一單身“再婚”就或使對方一單身也再婚，或拆散一對夫妻而生一與其同“性別”的新單身，沒別的可能。故F中人任意改配偶(新配偶必是F中人)後一方出n個單身的同時對方也只能出n個單身。證畢。

設兩不交且非空的集d、h 的並集記為d+h=H，d=H-h，非空D～D表示兩D的元已一一配對：x↔x。