@Chiaki Sequence [email protected]

@題目描述[email protected]

Chiaki is interested in an infinite sequence a1,a2,a3,...$a_1,a_2,a_3,...$, which is defined as follows:

an=1(n=1,2)$$a_n=1(n=1,2)$$
an=an−an−1+an−1−an−2(n≥3)$$a_n=a_{n-a_{n-1}}+a_{n-1-a_{n-2}}(n\ge 3)$$

Chiaki would like to know the sum of the first n terms of the sequence, i.e.

∑ni=1ai$\sum _{i=1}^n{a}_i$. As this number may be very large, Chiaki is only interested in its remainder modulo (109+7${10}^9+7$).

Input
There are multiple test cases. The first line of input contains an integer T (1≤T≤10^5), indicating the number of test cases. For each test case:
The first line contains an integer n (1≤n≤10^18).
Output

For each test case, output an integer denoting the answer.

Sample Input
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Sample Output
1
2
4
6
9
13
17
21
26
32

@大致題意@

陣列 a 遞推公式如上，求陣列 a 的字首和。

@分析 - 遇事不決先打表@

如題，數列 a 打表如下(｀・ω・´)：

a:1,1,2,2,3,4,4,4,5,6,6,7,8,8,8,8,9,10,10,11,12,12,12,13,14,14,15,16,16,16,16,16,…

目測好像有點兒規律的樣子(｀・ω・´)
記f[x]表示 x 連續出現多少次，繼續來打波表(｀・ω・´)

f:2,2,1,3,1,2,1,4,1,2,1,3,1,2,1,…

如果將f[1]減1，就可以發現 f 陣列其實真的是有規律的(｀・ω・´)
f 陣列的前 1（2^1 - 1） 個：1
f 陣列的前 3（2^2 - 1） 個：1,2,1
f 陣列的前 7（2^3 - 1） 個：1,2,1,3,1,2,1
f 陣列的前 15（2^4 - 1） 個：1,2,1,3,1,2,1,4,1,2,1,3,1,2,1
這樣規律就非常明顯了嘛(｀・ω・´)

@分析 - 利用規律瞎求解@

首先考慮怎麼表達“將f[1]減1”，其實這個是等價於“忽略a[1]”，我們可以將項數N-1，求解一遍字首和，再讓最後答案+1。

然後，記 s 為 f 陣列的字首和陣列，我們找到數 x 使得 s[x] <= N 且 s[x+1] > N，則最後答案為(∑xi=1i∗f[i])+(N−s[x])∗(x+1)$(\sum _{i=1}^{x}i\ast f[i])+(N-s[x])\ast (x+1)$。

考慮怎麼找這樣一個 x，因為 f 陣列有著極好的自相似性，我們考慮用倍增法。記 cnt[i]=s[2i−1]$cnt[i]=s[2^i-1]$，則有 cnt[i]=cnt[i−1]∗2+i$cnt[i]=cnt[i-1]\ast 2+i$，可以用類似於求 LCA 的方法求出 x ：先找到最大的 p 滿足 cnt[p] <= N，如果cnt[p] + (p+1) > N，則將 2^p - 1 累加進 x，跳出迭代；否則將 2^p 累加進 x ，將 N 減去 cnt[p] + (p+1) ，繼續迭代操作。

再考慮怎麼求解∑xi=1i∗f[i]$\sum _{i=1}^{x}i\ast f[i]$，我們也可以利用 f 陣列的自相似性來使用倍增法。
記sum[x]=∑2x−1i=1i∗f[i]$sum[x]=\sum _{i=1}^{2^x-1}i\ast f[i]$。
因為 f[1...2x−1−1]=f[2x−1+1...2x−1]$f[{\mathrm{1...2}}^{x-1}-1]=f[2^{x-1}+{\mathrm{1...2}}^x-1]$（說白就是關於中間點對稱）
有sum[x]=(∑2x−1−1i=1i∗f[i])+(∑2x−1−1i=1(i+2x−1)∗f[i])+2x−1∗x$sum[x]=(\sum _{i=1}^{2^{x-1}-1}i\ast f[i])+(\sum _{i=1}^{2^{x-1}-1}(i+2^{x-1})\ast f[i])+2^{x-1}\ast x$
即sum[x]=sum[x−1]+2x−1∗x+(sum[x−1]+2