【總結】積性函式字首和（杜教篩）

據CCH和LJH說，杜教篩似乎是一個非常套路的東西，幾乎所有的杜教篩的題目推理方式都是一模一樣的（但實測有些推理還是很噁心的）。所以複習杜教篩不需要太多時間，粗略看一遍，留下印象即可。

杜教篩其實是一種簡化運算的推理方式，它的使用條件並不僅限於積性函式（？），只是積性函式可以將複雜度進一步優化。

因為杜教篩是一種推理方式，所以直接給出例題反而容易上手。
尤拉函式的定義這裡就不再贅述。
需要知道的是尤拉函式 $(φ)$ 的一個特殊性質：

\sum_{d | n} φ (d) = n

形如

\sum_{d | n} f (d) = A

這個性質是極為重要的，我們整個演算法都是基於這個性質而來。

下面開始推導：

φ (n) = n - \sum_{d | n, d < n} φ (d)

那麼

\sum_{i = 1}^{i \leq n} φ (i) = \sum_{i = 1}^{i \leq n} (i - \sum_{d | i, d < i} φ (d))

現在我們改變列舉變數：我們列舉

\frac{i}{d}

的值，即列舉i對d的倍數，因為i≠d，所以從2開始

\sum_{i = 1}^{i \leq n} φ (i) = \frac{n * (n + 1)}{2} - \sum_{\frac{i}{d} = 2}^{\frac{i}{d} \leq n} \sum_{d = 1}^{d \leq ⌊ \frac{n}{\frac{i}{d}} ⌋} φ (d)

這時候就能夠驚訝地發現：
如果設

S u m (n) = \sum_{i = 1}^{i \leq n} φ (i)

那麼就可以寫為：

S u m (n) = \frac{n * (n + 1)}{2} - \sum_{\frac{i}{d} = 2}^{\frac{i}{d} \leq n} S u m (⌊ \frac{n}{\frac{i}{d}} ⌋)

我們成功地將問題化簡了！為了方便起見，我們將這個

\frac{i}{d}

寫為

i

S u m (n) = \frac{n * (n + 1)}{2} - \sum_{i = 2}^{i \leq n} S u m (⌊ \frac{n}{i} ⌋)

接下來，只需要按照根據

⌊ \frac{n}{i} ⌋

的不同取值來分塊，就可以達到

O (n^{\frac{3}{4}})

的複雜度。
顯然這還不夠優秀，那麼針對與積性函式，我們還有一個小優化：
將

S u m (1), S u m (2), S u m (3) . . . S u m (n^{\frac{2}{3}})