將近一週的時間內，我專門學習了數論中有關積性函式求字首和的一些方法，在被虐心的數論折磨得痛不欲生之後（然而我明明已經逃離了數學系為什麼還要被數學虐啊摔！！），我終於基本掌握了這一方法，所以在這裡記錄一下基本的思想並放上一些題解，以便日後回顧。

一、基本知識

1.積性函式

　　積性函式是指這樣一類數論函式，對於∀a,b∈N ∗  且gcd(a,b)=1 有f(ab)=f(a)∗f(b) .常見的積性函式有：

除數函數σ k (n)，表示n的所有約數的k次冪之和 
歐拉函數φ(n)，表示所有小於n且與n互質的正整數的個數 
莫比烏斯函數μ(n)=⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

1(n=1)(−1) k (n為k個不同質數之積)0(其它情況)  

2.完全積性函式

　　若數論函式f 對於∀a,b∈N ∗  有f(ab)=f(a)∗f(b) ，這樣的f 稱為完全積性函式。常見的完全積性函式有：

冪函數Id k (n)=n k  
單位函數ϵ(n)={1(n=1)0(n>1)  

3.Dirichlet卷積

　　Dirichlet 卷積的定義是，對於兩個數論函式f,g ，f∗g(n)=∑ d|n f(d)g(nd) ，Dirichlet 卷積有如下的一些性質：卷積運算滿足交換律、結合律、分配律，單位函式ϵ 是Dirichlet 卷積運算的單位元，兩個積性函式的D

irichlet 卷積仍然是積性函式。

4.兩個重要的公式

　　∑ d|n φ(n)=n 
　　∑ d|n μ(n)=[n=1] ([sth.]意思是括號中的條件成立取1，否則取0，以後還會經常碰到