動態規劃相信大家都知道，動態規劃演算法也是新手在剛接觸演算法設計時很苦惱的問題，有時候覺得難以理解，但是真正理解之後，就會覺得動態規劃其實並沒有想象中那麼難。網上也有很多關於講解動態規劃的文章，大多都是敘述概念，講解原理，讓人覺得晦澀難懂，即使一時間看懂了，發現當自己做題的時候又會覺得無所適從。我覺得，理解演算法最重要的還是在於練習，只有通過自己練習，才可以更快地提升。話不多說，接下來，下面我就通過一個例子來一步一步講解動態規劃是怎樣使用的，只有知道怎樣使用，才能更好地理解，而不是一味地對概念和原理進行反覆琢磨。

    首先，我們看一下這道題（此題目來源於北大POJ）：

    數字三角形(POJ1163)

    

在上面的數字三角形中尋找一條從頂部到底邊的路徑，使得路徑上所經過的數字之和最大。路徑上的每一步都只能往左下或 右下走。只需要求出這個最大和即可，不必給出具體路徑。 三角形的行數大於1小於等於100，數字為 0 - 99

    輸入格式：

    5      //表示三角形的行數    接下來輸入三角形

    7

    3   8

    8   1   0

    2   7   4   4

    4   5   2   6   5

    要求輸出最大和

    接下來，我們來分析一下解題思路：

    首先，肯定得用二維陣列來存放數字三角形

    然後我們用D( r, j) 來表示第r行第 j 個數字(r,j從1開始算)

    我們用MaxSum(r, j)表示從D(r,j)到底邊的各條路徑中，最佳路徑的數字之和。

    因此，此題的最終問題就變成了求 MaxSum(1,1)

    當我們看到這個題目的時候，首先想到的就是可以用簡單的遞迴來解題：

    D(r, j)出發，下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。故對於N行的三角形，我們可以寫出如下的遞迴式：   

1. if ( r == N)                  
2.     MaxSum(r,j) = D(r,j)    
3. else
4.     MaxSum( r, j) = Max{ MaxSum(r＋1,j), MaxSum(r+1,j+1) } + D(r,j)   

    根據上面這個簡單的遞迴式，我們就可以很輕鬆地寫出完整的遞迴程式碼： 

1. #include <iostream>  
2. #include <algorithm> 
3. #define MAX 101  
4. usingnamespace std;   
5. int D[MAX][MAX];    
6. int n;    
7. int MaxSum(int i, int j){      
8.     if(i==n)    
9.         return D[i][j];      
10.     int x = MaxSum(i+1,j);      
11.     int y = MaxSum(i+1,j+1);      
12.     return max(x,y)+D[i][j];    
13. }  
14. int main(){      
15.     int i,j;      
16.     cin >> n;      
17.     for(i=1;i<=n;i++)     
18.         for(j=1;j<=i;j++)          
19.             cin >> D[i][j];      
20.     cout << MaxSum(1,1) << endl;    
21. }        

    對於如上這段遞迴的程式碼，當我提交到POJ時，會顯示如下結果：

    

    對的，程式碼執行超時了，為什麼會超時呢？

    答案很簡單，因為我們重複計算了，當我們在進行遞迴時，計算機幫我們計算的過程如下圖：

    

    就拿第三行數字1來說，當我們計算從第2行的數字3開始的MaxSum時會計算出從1開始的MaxSum，當我們計算從第二行的數字8開始的MaxSum的時候又會計算一次從1開始的MaxSum，也就是說有重複計算。這樣就浪費了大量的時間。也就是說如果採用遞規的方法，深度遍歷每條路徑，存在大量重複計算。則時間複雜度為 2的n次方,對於 n = 100 行，肯定超時。 

    接下來，我們就要考慮如何進行改進，我們自然而然就可以想到如果每算出一個MaxSum(r,j)就儲存起來，下次用到其值的時候直接取用，則可免去重複計算。那麼可以用n方的時間複雜度完成計算。因為三角形的數字總數是 n(n+1)/2

    根據這個思路，我們就可以將上面的程式碼進行改進，使之成為記憶遞迴型的動態規劃程式： 

1. #include <iostream>  
2. #include <algorithm> 
3. usingnamespace std;  
4. #define MAX 101
5. int D[MAX][MAX];      
6. int n;    
7. int maxSum[MAX][MAX];  
8. int MaxSum(int i, int j){        
9.     if( maxSum[i][j] != -1 )           
10.         return maxSum[i][j];        
11.     if(i==n)     
12.         maxSum[i][j] = D[i][j];       
13.     else{      
14.         int x = MaxSum(i+1,j);         
15.         int y = MaxSum(i+1,j+1);         
16.         maxSum[i][j] = max(x,y)+ D[i][j];       
17.     }       
18.     return maxSum[i][j];   
19. }   
20. int main(){      
21.     int i,j;      
22.     cin >> n;      
23.     for(i=1;i<=n;i++)     
24.         for(j=1;j<=i;j++) {         
25.             cin >> D[i][j];         
26.             maxSum[i][j] = -1;     
27.         }      
28.     cout << MaxSum(1,1) << endl;   
29. }   

    當我們提交如上程式碼時，結果就是一次AC

    

    雖然在短時間內就AC了。但是，我們並不能滿足於這樣的程式碼，因為遞迴總是需要使用大量堆疊上的空間，很容易造成棧溢位，我們現在就要考慮如何把遞迴轉換為遞推，讓我們一步一步來完成這個過程。

    我們首先需要計算的是最後一行，因此可以把最後一行直接寫出，如下圖：

    

    現在開始分析倒數第二行的每一個數，現分析數字2，2可以和最後一行4相加，也可以和最後一行的5相加，但是很顯然和5相加要更大一點，結果為7，我們此時就可以將7儲存起來，然後分析數字7，7可以和最後一行的5相加，也可以和最後一行的2相加，很顯然和5相加更大，結果為12，因此我們將12儲存起來。以此類推。。我們可以得到下面這張圖：

    

    然後按同樣的道理分析倒數第三行和倒數第四行，最後分析第一行，我們可以依次得到如下結果：

    

    

    上面的推導過程相信大家不難理解，理解之後我們就可以寫出如下的遞推型動態規劃程式： 

1. #include <iostream>  
2. #include <algorithm> 
3. usingnamespace std;   
4. #define MAX 101  
5. int D[MAX][MAX];     
6. int n;    
7. int maxSum[MAX][MAX];   
8. int main(){      
9.     int i,j;      
10.     cin >> n;      
11.     for(i=1;i<=n;i++)     
12.         for(j=1;j<=i;j++)          
13.             cin >> D[i][j];     
14.     for( int i = 1;i <= n; ++ i )       
15.         maxSum[n][i] = D[n][i];     
16.     for( int i = n-1; i>= 1;  --i )       
17.         for( int j = 1; j <= i; ++j )           
18.             maxSum[i][j] = max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1]) + D[i][j];      
19.     cout << maxSum[1][1] << endl;    
20. }   

     我們的程式碼僅僅是這樣就夠了嗎？當然不是，我們仍然可以繼續優化，而這個優化當然是對於空間進行優化，其實完全沒必要用二維maxSum陣列儲存每一個MaxSum(r,j),只要從底層一行行向上遞推，那麼只要一維陣列maxSum[100]即可,即只要儲存一行的MaxSum值就可以。

     對於空間優化後的具體遞推過程如下：

    

    

    

    

    

    

    接下里的步驟就按上圖的過程一步一步推導就可以了。進一步考慮，我們甚至可以連maxSum陣列都可以不要，直接用D的第n行直接替代maxSum即可。但是這裡需要強調的是：雖然節省空間，但是時間複雜度還是不變的。

    依照上面的方式，我們可以寫出如下程式碼：    

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