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5.2.1  連續系統離散化方法

1、反向差分變換法

對於給定的                                                （5.1）

其微分方程為 ，用反向差分代替微分，得

                   （5.2）

對（5.2）式兩邊取Z變換得： ，即 

                                               （5.3）

　　比較式（5.1）與式（5.3）可知，將式（5.1）中的s直接用

　　　　　　　　　　　　　　　　　                               （5.4）

　　代入即可，即

  　　　　　 　  　　　　　　（5.5）

另外，還可將 作級數展開

                     （5.6）

取一階近似 ，也可得到

                             （5.7）

平面的穩定域可以通過式（5.4）對映到 平面。因為 平面的穩定域為 ，參考式（5.4），可以寫出 平面的穩定域為：

為正數，將 寫成 ，上式可以寫成

即

上式可以寫成

由上式可以看出， 平面的穩定域對映到 平面上以 ， 為圓心， 為半徑的圓內，如圖5-3所示。

圖5-3  反向差分變換s平面與z平面的對應關係

反向差分變換方法的主要特點如下：

①變換計算簡單；

②由圖5-3看出， 平面的左半平面對映到 平面的單位圓內部一個小圓內，因而，如果 穩定，則變換後的 也是穩定的；

③離散濾波器的過程特性及頻率特性同原連續濾波器比較有一定的失真，需要較小的取樣週期 。

2、正向差分變換法

對於給定的                                                 （5.8）

其微分方程為 ，用正向差分代替微分，即

兩邊取Z變換得： ，即 

                                                 （5.9）

比較式（5.8）與式（5.9）可知，對 進行正向差分變換時，將其中的s直接用

　　　　　　　　　　　　　　　　　                                 （5.10）

代入即可，即

  　　　　　　 　　　　　　（5.11）

另外還可將 級數展開 ：                          

取一階近似 ，也可得到：                                      

使用正向差分方法時，有個嚴重問題是， 平面的左半平面對映到 平面的單位圓外。因為 平面的穩定域為 ，參考式（5.10），可以寫出 平面的穩定域為：

令 ，則上式可以寫成

因為 ，則有 即 ，如圖5-4所示。

圖5-4  正向差分變換s平面與z平面的對應關係

由此，得出正向差分法變換的特點： 平面左半平面的極點可能對映到 平面單位圓外。因而，用這種方法所得到的離散濾波器可能是不穩定的，實際應用中基本上不採用這種方法。

3、雙線性變換法

雙線性變換法又稱突斯汀（Tustin）法，是一種基於梯形積分規則的數字積分變換方法。

由Z變換定義 ，將 改寫為如下形式：

                            （5.12）

然後將分子和分母同時展成泰勒級數，取前兩項，得：

                               （5.13）

由上式計算出 ，得雙線性變換公式。

                              （5.14）

另外，由圖5-5所示的梯形面積近似積分可得

         （5.15）

其中 為到 時刻的陰影總面積。對式（5.15）進行Z變換，並整理得到

                            （5.16）

圖5-5梯形面積近似積分

由式（5.16），也可得雙線性變換：                        （5.17）

還可以將式（5.14）看作採用雙線性變換時由s平面到z平面的對映。應當注意到，雙線性變換使 的極、零點數目相同，且離散濾波器的階數（即離散濾波器的極點數）與原連續濾波器的階數相同。

由式 （5.14），s平面的左半平面 對映到z平面時，其關係如下：

因為T>0，上面的不等式可以簡化為

即：

這相應於z平面單位圓內部，如圖5-6所示。因此，雙線性變換將s平面上整個左半平面對映到z平面上以原點為圓心的單位圓內部（這是z平面上的穩定區）。這和 對映是一樣的，但是離散濾波器的過渡響應及頻率響應特性有顯著的不同。

圖5-6 雙線性變換s平面與z平面的對應關係

雙線性變換的主要特點是：

①如果D(s)穩定，則相應的D(z)也穩定；D(s)不穩定，則相應的D(z)也不穩定。

②所得D(z)的頻率響應在低頻段與D(s)的頻率響應相近，而在高頻段相對於D(s)的頻率響應有嚴重畸變。

例5.1  用雙線性變換法將模擬積分控制器 離散化為數字積分控制器。

解  由式（5.14），得數字控制器的脈衝傳遞函式為

上式可以寫成

由上式可以得出相應的差分方程

式中， 分別為kT時刻D(z)的輸出量和輸入量。

以下為採用雙線性法將 離散化的MATLAB程式（設T=1s）：

>> num=1;

>> den=[1,0];

>> [dnum,dden]=c2dm(num,den,1,'tustin');

>> printsys(dnum,dden,'z')

num/den =

       0.5 z + 0.5

        -----------

          z – 1

其中num為連續系統分子的係數；den為連續系統分母的係數；c2dm是MATLAB函式，將連續傳遞函式轉換為離散傳遞函式；tustin表示採用雙線性方法；dnum和dden分別為轉換後傳遞函式的分子和分母的係數。

上述雙線性變換，將s平面的虛軸變換到Z平面的單位圓，因而沒有混疊現象。但是在模擬頻率 和離散頻率 之間是非線性的對應關係。

設 ， ，代入 得到

                             （5.18）

於是

                           （5.19）

上式表明了模擬頻率 和離散頻率 之間的非線性關係。當 取值 時， 的值為 。這意味著，模擬濾波器的全部頻率響應特性被壓縮到離散濾波器的 的頻率範圍內。這兩種頻率之間的非線性特性，使得由雙線性變換所得的離散頻率響應產生畸變。這種缺點可以通過預畸變的辦法來補償。

補償的基本思想是：在 變換成 之前，將 的斷點頻率預先加以修正（預畸變），使得修正後的 變換成 時正好達到所要求的斷點頻率。

預畸雙線性變換的特點為：

（1）       將S平面左半平面對映到Z平面單位圓內。

（2）       穩定的 變換成穩定的 。

（3）       沒有混疊現象。

（4）       不能保持 的脈衝響應和頻率響應。

（5）       所得的離散頻率響應不產生畸變。

4、脈衝響應不變法

所謂脈衝響應不變法就是將連續濾波器 離散得到離散濾波器 後，它的脈衝響應 與連續濾波器的脈衝響應 在各取樣時刻的值是相等的。即

因此，脈衝響應不變保持了脈衝響應的形狀

                           （5.20）

因而，上面給出的連續濾波器 ，採用脈衝響應不變法所得到的離散濾波器 即 的z變換。所以，脈衝響應不變法也稱Z變換法。

Z變換法的特點是：

① 和 有相同的單位脈衝響應序列；

②若 穩定，則 也穩定；

③ 存在著頻率失真；

④該法特別適用於頻率特性為銳截止型的連續濾波器的離散化。

 它主要應用於連續控制器 具有部分分式結構或能較容易地分解為並聯結構，以及 具有陡衰減特性，且為有限頻寬的場合。這時取樣頻率足夠高，可減少頻率混疊影響，從而保證 的頻率特性接近原連續控制器 。

5、階躍響應不變法

所謂階躍響應不變法就是將連續濾波器 離散後得到的離散濾波器 ，保證其階躍響應與原連續濾波器的階躍響應在各取樣時刻的值是相等的。

用階躍響應不變法離散後得到的離散濾波器 ，則有

式中 表示 的階躍響應，而 表示 的階躍響應。取上式的Z變換，得到

即  

上式可以寫成如下形式

                                 （5.21）

這個方程的右邊可以看作 前面加了一個取樣器和零階保持器。因而，可以假設一個連續訊號和一個假想的取樣--保持裝置，如圖5-7所示。

圖5-7  帶假想的取樣－保持器的

必須指出，這裡的取樣保持器是一個虛擬的數字模型，而不是實際硬體。由於這種方法加入了零階保持器，對變換所得的離散濾波器會帶來相移，當取樣頻率較低時，應進行補償。零階保持器的加入，雖然保持了階躍響應和穩態增益不變的特性，但未從根本上改變Z變換的性質。

階躍響應不變法的特點如下：

①若 穩定，則相應的 也穩定；

② 和 的階躍響應序列相同；

6、零、極點匹配Z變換法

所謂零、極點匹配Z變換法，就是按照一定的規則把 的零點對映到離散濾波器 的零點，把 的極點對映到 的極點。極點的變換同Z變換相同，零點的變換添加了新的規則。設連續傳遞函式 的分母和分子分別為 階和階 ，稱 有 個有限零點， 個 的無限零點，如：

其有限零點為 ，還有兩個 的無限值零點。

零極點匹配Z變換的規則是：

（1） 所有的極點和所有的有限值零點均按照 變換，

            （5.22）

（2） 所有的在 處的零點變換成在 處的零點。

（3）如需要 的脈衝響應具有一單位延遲，則 分子的零點數應比分母的極點數少1。

（4）要保證變換前後的增益不變，還需進行增益匹配。

低頻增益匹配：

                        （5.23）

高頻增益匹配：

                        （5.24）

實際系統中， 的分母階數常常比分子階數高，如不採用規則（2），那麼 的脈衝響應會產生 個取樣時間的延遲，對系統造成不利影響，引入規則（2）後， 的分母和分子的階數就相同了。

例5.2  求 的零、極點匹配Z變換。

解：按規則（2），

由式（5.23）有：

解得

於是：

根據規則（3），

有

以下是求 的零、極點匹配Z變換的MATLAB程式，仍然取T=1， =1：

>> num=1;

>>den=[1,1];

>>ts=1;

>> [dnum,dden]=c2dm(num,den,ts,'matched');

>>printsys(dnum,dden,'z')

num/den =

    0.63212

   -----------

   z - 0.36788

注意到用函式c2dm求零、極點匹配Z變換時，是採用低增益匹配的。

例5.3  求 的零、極點匹配Z變換。

解                     

按高頻增益匹配

於是                          

7、各種離散化方法小結:

表5.1給出了連續傳遞函式 ，在各種離散化方法變換後得到的等效的脈衝傳遞函式及相應的變換方程。

表5.1  用各種變換方法得到的等效

以上研究了6種已知連續濾波器求等效離散濾器的方法，其中正向差分法產生不穩定離散濾波器，實際上基本不用。一般情況下，由連續到離散的設計最好多實驗幾種方法（通過模擬，得出滿意的結果）。因為匹配零、極點對映法、雙線性變換法都能得出比較滿意的結果，初步設計時，可以試用這些方法。