在組合數學中學習鴿巢原理。其中一道例題是這樣的：

從1,2,3,4,..., 200這200個整數中選取101個整數，則一定存在兩個數存在整除關係？

解答：

一個數對其按照2進行因式分解，總可寫成n = 2 ^ k * t(其中k >=0, t為奇數)。例如2 = 2 ^ 1 * 1; 3 = 2 ^ 0 * 3...

而1到200存在奇數1,3,5,7,..., 199一共100個奇數。我選取101個整數，則說明存在兩個整數i,j, 它們經過分解，t是相等的。所以前面的k是不一樣的。也就證明了i，j存在整除關係。很簡單是嗎？請看下面一道擴充套件題。

從1,2,3,4,..., 200這200個整數中選取100個整數，其中只有一個數小於16，證明一定存在兩個數存在整除關係？

我們這樣想：

    定義兩個集合A =  {a[1], a[2], ..., a[100]}

                           B = {1, 3, 5, 7, ..., 199}

其中A是從200個整數中選取的100個整數，而B[i]則是某個a[j]經過按2分解最後的奇數t。

經過思考，若選取的100個數不存在整除關係，則每個數一定對映到不同的奇數。若兩個數經分解後得到相同的奇數，則這兩個數能夠整除。

我們再來分情況討論，

        對於最小數15，

        它對映到集合B的元素是15。假設對映到集合B為45的元素為M，則M和15是什麼關係呢？一定整除，對不對?所以存在整除。

       對於13， 39

                11， 33

                 9，  27

                 7， 21

                5， 15

               3， 9

              1不用說，肯定存在整除關係。

關鍵是對於1到15之間的偶數，如何處理？

       對於14， 14 = 2 * 7（k = 1）。 對映到B中的元素為7。

       我們接著考慮B的為7的倍數的元素{21, 35, 49, 63, 77, 91, 105,..., 189}

      我們知道105後面的對映到A就是它們本身，因為A中每個數都小於200.

     接著我們隨便來考慮一組數值<35, 105>.105是35的倍數，為了使它們兩者對應到A中的元素不存在整除，則A中的元素一定是2 ^ k * 35(k > 0)。而這是A中的元素一定是14

的整倍數。所以要麼是14的倍數，要麼是105和35對應的數存在整數倍關係。

      對於10,10 = 2 * 5(k = 1)處理方式和14一樣。

       對於6，處理方式和14一樣。

接著我們來考慮12,8,4,2.

     先來考慮2吧。

     若A中存在元素2，若不存在整數關係，其它199個數都是奇數。我們知道，這些奇數中肯定存在整除關係。

    再來考慮12吧。

    對於12，12 = 2 ^ 2 * 3(k = 2, t = 3)

    奇數為3.我們來考慮B中的 sub_B=｛9, 15, 21, 27, ...99, 105, 111, 117, ..., 195｝

    這些都是3的倍數。

   為了不和12產生整除關係設定sub_B 到A中元素的對映關係為 2 ^ k * sub_B[i](其中一定是小於等於1的)

我們知道105以後的k一定是0.我們來看tri_pair<9, 27, 117>117是27的倍數，27是9的倍數。為了是它們對映到A中元素不能整除，所以2 ^ 1 * 27, 2 ^ 2 ^ 9。

  這個時候我們發現，2 ^ 2 * 9 已經是12的倍數了。要麼9, 27, 117對應於A中的數之間存在整除關係，要麼其中有些數是12的倍數，總之，存在整除關係。

   來考慮8和4。

  對於4 = 2 ^ 2 * 1(k = 2, t = 1)

  正如在對於12討論的那樣，一定存在4的倍數。

   對於8 = 2 ^ 3 * 1（t = 1）對於3次方如何考慮呢？

   還是按照原來的思路。

  我們取sub_B = {3, 9, 15, 21, ..., }

這樣對於<3, 21, 63, 189>後面的在這裡就不寫了。

到現在，我們已經將1,2,3,4,5,..., 15全部討論完了。對於每個數都存在整除關係。