定義

樹中兩個節點x,y的最近公共祖先（Lowest Common Ancestors，簡稱LCA）指的是既是x祖先，又是y祖先且距離x和y最近的節點。

ST演算法（線上）

我們有一個求x和y的LCA的初始想法：就是先讓x和y中dep較大的節點與dep較小的節點處在同一深度，然後同時向上走，直到相遇，此時相遇的節點即為LCA：

複雜度為O(n∗Q)，並不是很好，我們需要優化。
初始想法很明顯的一個缺陷是：每次只走一層，太慢了，而這和RMQ初始想法的缺陷是一樣的。所以我們會想到ST演算法！記錄fa[i][j]表示i向上走2^j次到達的節點（我們認為根向上走若干次會到達自己），那麼很容易得到轉移：
fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1]

構造好fa之後，如何求x到y的LCA呢？如下（不妨設dep[x]>dep[y]）：
1.從大到小列舉i（log2(dep[x]−dep[y])~0），如果dep[fa[x][i]]>=dep[y]，那麼令x=fa[x][i]。由於這樣可以視為列舉二進位制位，所以處理完畢之後必定有dep[x]=dep[y]。
2.如果x=y，則x(y)即為LCA，結束。
3.從大到小列舉i（log2dep[x]~0），如果fa[x][i]!=fa[y][i]，那麼令x=fa[x][i]，y=fa[y][i]。處理完畢之後x(y)再向上走一次必定就是LCA，原理同1。
4.令x=fa[x][0]，此時的x即為LCA。
複雜度為O

Tarjan_LCA（離線）

求LCA還有個離線演算法Tarjan，Tarjan的想法是先把所有詢問存下來，然後一次性全部處理，所以是離線的。過程如下：
1.用DFS遍歷這棵樹（優先處理出子樹）。
2.假設目前遍歷的點是x，子樹son已經處理完畢，那麼將x與son用並查集合並。
3.列舉與x有關的詢問(x,y)，如果y已經訪問過，那麼LCA(x,y)=getfa(y)即y目前的祖先。

這裡簡要說明一下為什麼LCA(x,y)=getfa(y)：

由於y已經訪問過，根據深度優先搜尋DFS的性質，一定有dep[y]>=dep[x]。
因為y在x之前被訪問，所以y必定已經和LCA處於同一個連通塊中。而且x還沒處理完畢，意味著LCA也沒處理完畢，所以LCA必定是這個連通塊的祖先。

還有一個小問題，就是我們怎麼保證y已經訪問過了呢？如果沒有訪問過，不是無法處理出LCA了？所以我們對於一個詢問(x,y)，還需要新增詢問(y,x)，這樣就可以方便的解決這個問題了。

由於並查集路徑壓縮之後可以視為常數，所以複雜度為O(n+Q)。

模板題