本文主要介紹了高斯濾波器的原理及其實現過程

高斯濾波器是一種線性濾波器，能夠有效的抑制噪聲，平滑影象。其作用原理和均值濾波器類似，都是取濾波器視窗內的畫素的均值作為輸出。其視窗模板的係數和均值濾波器不同，均值濾波器的模板係數都是相同的為1；而高斯濾波器的模板係數，則隨著距離模板中心的增大而係數減小。所以，高斯濾波器相比於均值濾波器對影象個模糊程度較小。

什麼是高斯濾波器

既然名稱為高斯濾波器，那麼其和高斯分佈（正態分佈）是有一定的關係的。一個二維的高斯函式如下：
\[ h(x,y) = e ^ {- \frac{x^2 + y^2}{2\sigma ^ 2}} \]
其中\((x,y)\)

這樣，將各個位置的座標帶入到高斯函式中，得到的值就是模板的係數。
對於視窗模板的大小為 \((2k + 1) \times (2k + 1)\)，模板中各個元素值的計算公式如下：
\[ H_{i,j} = \frac{1}{2\pi \sigma ^ 2}e ^{-\frac{(i - k - 1)^2 + (j - k - 1)^2}{2 \sigma ^ 2}} \]

• 小數形式的模板，就是直接計算得到的值，沒有經過任何的處理；
• 整數形式的，則需要進行歸一化處理，將模板左上角的值歸一化為1，下面會具體介紹。使用整數的模板時，需要在模板的前面加一個係數，係數為\(\frac{1}{\sum\limits_{(i,j)\in w}w_{i,j}}\)，也就是模板係數和的倒數。

高斯模板的生成

知道模板生成的原理，實現起來也就不困難了

void generateGaussianTemplate(double window[][11], int ksize, double sigma)
{
    static const double pi = 3.1415926;
    int center = ksize / 2; // 模板的中心位置，也就是座標的原點
    double x2, y2;
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
    {
        x2 = pow(i - center, 2);
        for (int j = 0; j < ksize; j++)
        {
            y2 = pow(j - center, 2);
            double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma));
            g /= 2 * pi * sigma;
            window[i][j] = g;
        }
    }
    double k = 1 / window[0][0]; // 將左上角的係數歸一化為1
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
    {
        for (int j = 0; j < ksize; j++)
        {
            window[i][j] *= k;
        }
    }
}
 

需要一個二維陣列，存放生成的係數（這裡假設模板的最大尺寸不會超過11）；第二個引數是模板的大小（不要超過11）；第三個引數就比較重要了，是高斯分佈的標準差。
生成的過程，首先根據模板的大小，找到模板的中心位置ksize/2。 然後就是遍歷，根據高斯分佈的函式，計算模板中每個係數的值。
需要注意的是，最後歸一化的過程，使用模板左上角的係數的倒數作為歸一化的係數（左上角的係數值被歸一化為1），模板中的每個係數都乘以該值（左上角係數的倒數），然後將得到的值取整，就得到了整數型的高斯濾波器模板。
下面截圖生成的是，大小為\(3 \times 3,\sigma = 0.8\)的模板

對上述解結果取整後得到如下模板：
\[ \frac{1}{16}\left[ \begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right] \]
這個模板就比較熟悉了，其就是根據\(\sigma = 0.8\)的高斯函式生成的模板。

至於小數形式的生成也比較簡單，去掉歸一化的過程，並且在求解過程後，模板的每個係數要除以所有係數的和。具體程式碼如下：

void generateGaussianTemplate(double window[][11], int ksize, double sigma)
{
    static const double pi = 3.1415926;
    int center = ksize / 2; // 模板的中心位置，也就是座標的原點
    double x2, y2;
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
    {
        x2 = pow(i - center, 2);
        for (int j = 0; j < ksize; j++)
        {
            y2 = pow(j - center, 2);
            double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma));
            g /= 2 * pi * sigma;
            sum += g;
            window[i][j] = g;
        }
    }
    //double k = 1 / window[0][0]; // 將左上角的係數歸一化為1
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
    {
        for (int j = 0; j < ksize; j++)
        {
            window[i][j] /= sum;
        }
    }
}

\(3 \times 3,\sigma = 0.8\)的小數型模板。

\(\sigma\)值的意義及選取

通過上述的實現過程，不難發現，高斯濾波器模板的生成最重要的引數就是高斯分佈的標準差\(\sigma\)。標準差代表著資料的離散程度，如果\(\sigma\)較小，那麼生成的模板的中心繫數較大，而周圍的係數較小，這樣對影象的平滑效果就不是很明顯；反之，\(\sigma\)較大，則生成的模板的各個係數相差就不是很大，比較類似均值模板，對影象的平滑效果比較明顯。

來看下一維高斯分佈的概率分佈密度圖：

橫軸表示可能得取值x，豎軸表示概率分佈密度F(x)，那麼不難理解這樣一個曲線與x軸圍成的圖形面積為1。\(\sigma\)（標準差）決定了這個圖形的寬度，可以得出這樣的結論：\(\sigma\)越大，則圖形越寬，尖峰越小，圖形較為平緩；\(\sigma\)越小，則圖形越窄，越集中，中間部分也就越尖，圖形變化比較劇烈。這其實很好理解，如果sigma也就是標準差越大，則表示該密度分佈一定比較分散，由於面積為1，於是尖峰部分減小，寬度越寬（分佈越分散）；同理，當\(\sigma\)越小時，說明密度分佈較為集中，於是尖峰越尖，寬度越窄！
於是可以得到如下結論：
\(\sigma\)越大，分佈越分散，各部分比重差別不大，於是生成的模板各元素值差別不大，類似於平均模板；
\(\sigma\)越小，分佈越集中，中間部分所佔比重遠遠高於其他部分，反映到高斯模板上就是中心元素值遠遠大於其他元素值，於是自然而然就相當於中間值得點運算。

基於OpenCV的實現

在生成高斯模板好，其簡單的實現和其他的空間濾波器沒有區別，具體程式碼如下：

void GaussianFilter(const Mat &src, Mat &dst, int ksize, double sigma)
{
    CV_Assert(src.channels() || src.channels() == 3); // 只處理單通道或者三通道影象
    const static double pi = 3.1415926;
    // 根據視窗大小和sigma生成高斯濾波器模板
    // 申請一個二維陣列，存放生成的高斯模板矩陣
    double **templateMatrix = new double*[ksize];
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
        templateMatrix[i] = new double[ksize];
    int origin = ksize / 2; // 以模板的中心為原點
    double x2, y2;
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
    {
        x2 = pow(i - origin, 2);
        for (int j = 0; j < ksize; j++)
        {
            y2 = pow(j - origin, 2);
            // 高斯函式前的常數可以不用計算，會在歸一化的過程中給消去
            double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma));
            sum += g;
            templateMatrix[i][j] = g;
        }
    }
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
    {
        for (int j = 0; j < ksize; j++)
        {
            templateMatrix[i][j] /= sum;
            cout << templateMatrix[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    // 將模板應用到影象中
    int border = ksize / 2;
    copyMakeBorder(src, dst, border, border, border, border, BorderTypes::BORDER_REFLECT);
    int channels = dst.channels();
    int rows = dst.rows - border;
    int cols = dst.cols - border;
    for (int i = border; i < rows; i++)
    {
        for (int j = border; j < cols; j++)
        {
            double sum[3] = { 0 };
            for (int a = -border; a <= border; a++)
            {
                for (int b = -border; b <= border; b++)
                {
                    if (channels == 1)
                    {
                        sum[0] += templateMatrix[border + a][border + b] * dst.at<uchar>(i + a, j + b);
                    }
                    else if (channels == 3)
                    {
                        Vec3b rgb = dst.at<Vec3b>(i + a, j + b);
                        auto k = templateMatrix[border + a][border + b];
                        sum[0] += k * rgb[0];
                        sum[1] += k * rgb[1];
                        sum[2] += k * rgb[2];
                    }
                }
            }
            for (int k = 0; k < channels; k++)
            {
                if (sum[k] < 0)
                    sum[k] = 0;
                else if (sum[k] > 255)
                    sum[k] = 255;
            }
            if (channels == 1)
                dst.at<uchar>(i, j) = static_cast<uchar>(sum[0]);
            else if (channels == 3)
            {
                Vec3b rgb = { static_cast<uchar>(sum[0]), static_cast<uchar>(sum[1]), static_cast<uchar>(sum[2]) };
                dst.at<Vec3b>(i, j) = rgb;
            }
        }
    }
    // 釋放模板陣列
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
        delete[] templateMatrix[i];
    delete[] templateMatrix;
}

只處理單通道或者三通道影象，模板生成後，其濾波（卷積過程）就比較簡單了。不過，這樣的高斯濾波過程，其迴圈運算次數為\(m \times n \times ksize^2\)，其中m，n為影象的尺寸；ksize為高斯濾波器的尺寸。這樣其時間複雜度為\(O(ksize^2)\)，隨濾波器的模板的尺寸呈平方增長，當高斯濾波器的尺寸較大時，其運算效率是極低的。為了，提高濾波的運算速度，可以將二維的高斯濾波過程分解開來。

分離實現高斯濾波

由於高斯函式的可分離性，尺寸較大的高斯濾波器可以分成兩步進行：首先將影象在水平（豎直）方向與一維高斯函式進行卷積；然後將卷積後的結果在豎直（水平）方向使用相同的一維高斯函式得到的模板進行卷積運算。具體實現程式碼如下：

// 分離的計算
void separateGaussianFilter(const Mat &src, Mat &dst, int ksize, double sigma)
{
    CV_Assert(src.channels()==1 || src.channels() == 3); // 只處理單通道或者三通道影象
    // 生成一維的高斯濾波模板
    double *matrix = new double[ksize];
    double sum = 0;
    int origin = ksize / 2;
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
    {
        // 高斯函式前的常數可以不用計算，會在歸一化的過程中給消去
        double g = exp(-(i - origin) * (i - origin) / (2 * sigma * sigma));
        sum += g;
        matrix[i] = g;
    }
    // 歸一化
    for (int i = 0; i < ksize; i++)
        matrix[i] /= sum;
    // 將模板應用到影象中
    int border = ksize / 2;
    copyMakeBorder(src, dst, border, border, border, border, BorderTypes::BORDER_REFLECT);
    int channels = dst.channels();
    int rows = dst.rows - border;
    int cols = dst.cols - border;
    // 水平方向
    for (int i = border; i < rows; i++)
    {
        for (int j = border; j < cols; j++)
        {
            double sum[3] = { 0 };
            for (int k = -border; k <= border; k++)
            {
                if (channels == 1)
                {
                    sum[0] += matrix[border + k] * dst.at<uchar>(i, j + k); // 行不變，列變化；先做水平方向的卷積
                }
                else if (channels == 3)
                {
                    Vec3b rgb = dst.at<Vec3b>(i, j + k);
                    sum[0] += matrix[border + k] * rgb[0];
                    sum[1] += matrix[border + k] * rgb[1];
                    sum[2] += matrix[border + k] * rgb[2];
                }
            }
            for (int k = 0; k < channels; k++)
            {
                if (sum[k] < 0)
                    sum[k] = 0;
                else if (sum[k] > 255)
                    sum[k] = 255;
            }
            if (channels == 1)
                dst.at<uchar>(i, j) = static_cast<uchar>(sum[0]);
            else if (channels == 3)
            {
                Vec3b rgb = { static_cast<uchar>(sum[0]), static_cast<uchar>(sum[1]), static_cast<uchar>(sum[2]) };
                dst.at<Vec3b>(i, j) = rgb;
            }
        }
    }
    // 豎直方向
    for (int i = border; i < rows; i++)
    {
        for (int j = border; j < cols; j++)
        {
            double sum[3] = { 0 };
            for (int k = -border; k <= border; k++)
            {
                if (channels == 1)
                {
                    sum[0] += matrix[border + k] * dst.at<uchar>(i + k, j); // 列不變，行變化；豎直方向的卷積
                }
                else if (channels == 3)
                {
                    Vec3b rgb = dst.at<Vec3b>(i + k, j);
                    sum[0] += matrix[border + k] * rgb[0];
                    sum[1] += matrix[border + k] * rgb[1];
                    sum[2] += matrix[border + k] * rgb[2];
                }
            }
            for (int k = 0; k < channels; k++)
            {
                if (sum[k] < 0)
                    sum[k] = 0;
                else if (sum[k] > 255)
                    sum[k] = 255;
            }
            if (channels == 1)
                dst.at<uchar>(i, j) = static_cast<uchar>(sum[0]);
            else if (channels == 3)
            {
                Vec3b rgb = { static_cast<uchar>(sum[0]), static_cast<uchar>(sum[1]), static_cast<uchar>(sum[2]) };
                dst.at<Vec3b>(i, j) = rgb;
            }
        }
    }
    delete[] matrix;
}

程式碼沒有重構較長，不過其實現原理是比較簡單的。首先得到一維高斯函式的模板，在卷積（濾波）的過程中，保持行不變，列變化，在水平方向上做卷積運算；接著在上述得到的結果上，保持列不邊，行變化，在豎直方向上做卷積運算。 這樣分解開來，演算法的時間複雜度為\(O(ksize)\)，運算量和濾波器的模板尺寸呈線性增長。

在OpenCV也有對高斯濾波器的封裝GaussianBlur，其宣告如下：

CV_EXPORTS_W void GaussianBlur( InputArray src, OutputArray dst, Size ksize,
                                double sigmaX, double sigmaY = 0,
                                int borderType = BORDER_DEFAULT );

二維高斯函式的標準差在x和y方向上應該分別有一個標準差，在上面的程式碼中一直設其在x和y方向的標準是相等的，在OpenCV中的高斯濾波器中，可以在x和y方向上設定不同的標準差。
下圖是自己實現的高斯濾波器和OpenCV中的GaussianBlur的結果對比

上圖是\(5\times5,\sigma = 0.8\)的高斯濾波器，可以看出兩個實現得到的結果沒有很大的區別。

總結

高斯濾波器是一種線性平滑濾波器，其濾波器的模板是對二維高斯函式離散得到。由於高斯模板的中心值最大，四周逐漸減小，其濾波後的結果相對於均值濾波器來說更好。
高斯濾波器最重要的引數就是高斯分佈的標準差\(\sigma\)，標準差和高斯濾波器的平滑能力有很大的能力，\(\sigma\)越大，高斯濾波器的頻帶就較寬，對影象的平滑程度就越好。通過調節\(\sigma\)引數，可以平衡對影象的噪聲的抑制和對影象的模糊。