演算法學習-莫比烏斯反演

寫在前面

必須把更多的精力放在文化課上了, 所以這段時間的學習和數學相關的比較多, 希望可以對文化課有幫助.

莫比烏斯反演公式

g(n)=∑d|nf(d)⇒f(n)=∑d|nμ(d)g(nd)

基礎知識

μ函式
f(n)=⎧⎩⎨1,(−1)k,0,n=1n=p1∗p2∗...∗pkn=others
μ 函式是積性函式, 因為當 n 是質數時 μ(n)=(−1)1=−1, 所以可以通過篩法求出 μ 函式.

mu[1] = 1;
for(i = 2; i <= n; i++) {
    if(!vis[i]) {
        prime[++c] = i;
        mu[i] = -1 
;
    }
    for(j = 1; prime[j] * i <= n; j++) {
        vis[prime[j] * i] = 1;
        if(i % prime[j] == 0) {
            mu[prime[j] * i] = 0;
            break;
        }
        mu[prime[j] * i] = -mu[i];
    }
}

莫比烏斯反演的證明

可以從後向前證明.
已知 g(n)=∑d|nf(d)
求證 f(n)=∑d|nμ(d)g(nd)
證明
f(n)=∑d|nμ(d)g(

nd)=∑d|nμ(d)∑k|ndf(k)=∑d|n∑k|ndf(k)∗μ(d)
然後的一步讓我很頭疼, 要把 f(k) 提出來, 統計 f(k) 所乘的 μ(d)的和.
仔細觀察, k 的取值範圍就是 n 的所有因子. 如果 f(k) 要和 μ(d) 相乘, 那麼滿足的關係是 k|nd, 也就是 k∗m=nd, 變換一下形式就得到 d∗m=nk, 即 d|nk. 也就是 f(k) 要和所有 d|nk 的 d 相乘.
用這個結論繼續化簡剛才的式子, 得到下面
f(n)=∑d|n∑k|ndf(k)∗μ(d)=∑k|nf(k)∑d|nkμ(d)
μ函式有很多奇怪的性質, 比如下面這條
∑

d|nμ(d)={1,0,n=1n>1
n=1 時比較顯然
n>1 時將 n 分解為

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