數位DP是一種用來計數的DP， 如果給你一道題， 讓你去統計區間[l, r]之間滿足某種條件的數字個數， 在沒接觸數位之前很容易想到的就是暴力判斷。但當資料範圍較大時這種方法就不可行了， 這時候我們就可能要用的差分的思想確定一個遞推關係， 來更方便更高效的求解， 這就是數位DP。這種理論的東西可能寫出來幫助不大， 數位DP的思想是通過自己對問題的思考逐漸建立的， 下面是我選的一個例題來幫助初步理解數位DP。

HDU 2089 —— 不要62

Problem Description

杭州人稱那些傻乎乎粘嗒嗒的人為62（音：laoer）。
杭州交通管理局經常會擴充一些的士車牌照，新近出來一個好訊息，以後上牌照，不再含有不吉利的數字了，這樣一來，就可以消除個別的士司機和乘客的心理障礙，更安全地服務大眾。
不吉利的數字為所有含有4或62的號碼。例如：
62315 73418 88914
都屬於不吉利號碼。但是，61152雖然含有6和2，但不是62連號，所以不屬於不吉利數字之列。
你的任務是，對於每次給出的一個牌照區間號，推斷出交管局今次又要實際上給多少輛新的士車上牌照了。

Input

輸入的都是整數對n、m（0<n≤m<1000000），如果遇到都是0的整數對，則輸入結束。

Output

對於每個整數對，輸出一個不含有不吉利數字的統計個數，該數值佔一行位置。

Sample Input

1 100 0 0

Sample Output

80

直接統計對於暴力列舉很好求,但是對於數位dp並不容易,所以我們還需要用到差分的思想,即統計0到b+1(注意不是b,至於為什麼後面會講)和0到a的滿足條件的個數,再兩者相減

進一步化簡,求0到i位數不含4和62的個數

i=1,求0~9的滿足條件的個數

i=2,求0~99的滿足條件的個數

i=3,求0~999的滿足條件的個數

i=4,求0~9999的滿足條件的個數

...

用dp[i][0]表示i位數中幸運數的個數

用dp[i][1]表示i位數中以2開頭的幸運數的個數

用dp[i][2]表示i位數中非幸運數的個數

那麼,就有以下的遞推公式

dp[i][0]=dp[i-1][0]*9-dp[i-1][1]//表示前i-1位數字中的幸運數前面加上除4以外的0~9的其他數字,共9個,還要減去前i-1位數字中的以2開頭的幸運數加上這一位以6開頭的數字的個數

dp[i][1]=dp[i-1][0]//表示前i-1位數字中的幸運數加上這一位的2

dp[i][2]=dp[i-1][2]*10+dp[i-1][1]+dp[i-1][0]//表示前面已經不合法的數字這一位無論放什麼都不合法,所以0~9隨便放,加上前i-1位數字中的以2開頭的幸運數加上這一位的6,再加上前i-1位數字中的幸運數加上這一位的4的個數

初始值 dp[0][0]=1,其他均為0

根據初始值和遞推公式，我們就能得到從0到任意i位數字的吉利數字的個數。

找到0 ~ n 的吉利數字的個數

我們先求出0 ~ n 之間非吉利數字的個數，用總數減去即可。那，非吉利數字的個數怎麼求呢？

用具體的數字舉例來說吧：設 n = 583626

用digit[10]記錄n+1每一位對應的數字，此例中有6位數字（令cnt = 6 表示數字位數），分別是

digit[6] = 5

digit[5] = 8

digit[4] = 3

digit[3] = 6

digit[2] = 2

digit[1] = 7

digit[0] = 任意數字，佔位用的

用sum記錄非吉利數字的個數，初始化為0

需要一個bool量 flag,記錄是否出現了非吉利數字。初始化為false, 未出現。

我們從數字的最高位起進行判斷:digit[6] = 5， 我們求 0 ~ 499999 之間非吉利數的個數。

　　首先：加上0 ~ 99999中所有非吉利數字前面新增0~4的任意一個數字的情況 sum += dp[5][2] * digit[6]

　　其次：5大於4，故我們要加上 0~99999中所有吉利數字前面新增4的情況 sum += dp[5][0]

接著，判斷第5位digit[5] = 8，即判斷500000 ~ 579999 之間的非吉利數字的個數，其實就是判斷0 ~ 79999之間的，前面的數字不是6就沒有什麼用

　　首先：加上0 ~ 9999中所有非吉利數字前面新增0~7的任意一個數字的情況 sum += dp[4][2] * digit[5]

　　其次：8大於4，故我們要加上 0~9999中所有吉利數字前面新增4的情況 sum += dp[4][0]

　　此外：8大於6，故我們要加上0~9999中所有以2開頭的吉利數字前新增6的情況 sum += dp[4][1]

接著，判斷第4位digit[4] = 3，即判斷580000 ~ 582999 之間的非吉利數字的個數，其實就是判斷0 ~ 2999之間的

　　首先：加上0 ~ 999中所有非吉利數字前面新增0~2的任意一個數字的情況 sum += dp[3][2] * digit[4]

　　其次：2小於4，沒有需要特別考慮的

　　此外：2小於6，沒有需要特別考慮的

接著，判斷第3位digit[3] = 6，即判斷583000 ~ 583599 之間的非吉利數字的個數，其實就是判斷0 ~ 599之間的

　　首先：加上0 ~ 99中所有非吉利數字前面新增0~5的任意一個數字的情況 sum += dp[2][2] * digit[3]

　　其次：6大於4，故我們要加上 0~99中所有吉利數字前面新增4的情況 sum += dp[2][0]

接著，判斷第2位digit[2] = 2，即判斷583600 ~ 583619 之間的非吉利數字的個數，其實就是判斷0 ~ 19之間的，

　　首先：加上0 ~ 9中所有非吉利數字前面新增0~1的任意一個數字的情況 sum += dp[1][2] * digit[2]

　　其次：2小於4，沒有需要特別考慮的

　　此外：2小於6，沒有需要特別考慮的

　 但是，需要注意的是，這裡判斷的數字出現了62，我們要把flag標識為true。

最後，判斷第1位digit[1] = 7, 判斷583620 ~ 583626但是這裡flag為true了，表示前面的數字裡面已經包含了非吉利數字，所以後面需要把所有的數字情況都加入到非吉利裡面。(正是因為每次判斷的數字末尾都比該位的數字少1，所以最開始要記錄n + 1 的值)

sum += digit[1] * dp[0][2] + digit[1] * dp[0][0]

1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define in(i) (i=read())
 3 using namespace std;
 4 int read() {
 5   int ans=0,f=1; char i=getchar();
 6   while(i<'0'||i>'9') {if(i=='-') f=-1; i=getchar();}
 7   while(i>='0'&&i<='9') {ans=(ans<<3)+(ans<<1)+i-'0'; i=getchar();}
 8   return ans*f;
 9 }
10 int dp[10][3],digit[15];
11 void init() {
12   memset(dp,0,sizeof(dp));
13   dp[0][0]=1;
14   for(int i=1;i<=8;i++) {
15     dp[i][0]=dp[i-1][0]*9-dp[i-1][1];
16     dp[i][1]=dp[i-1][0];
17     dp[i][2]=dp[i-1][2]*10+dp[i-1][1]+dp[i-1][0];
18   }
19 }
20 int solve(int x)
21 {
22   memset(digit,0,sizeof(digit));
23   int cnt=0,tmp=x;
24   while(tmp) {
25     digit[++cnt]=tmp%10;
26     tmp/=10;
27   }
28   digit[cnt+1]=0; int flag=0,ans=0;
29   for(int i=cnt;i>=1;i--) {
30     ans+=digit[i]*dp[i-1][2];
31     if(flag) ans+=digit[i]*dp[i-1][0];
32     else {
33       if(digit[i]>4) ans+=dp[i-1][0];
34       if(digit[i]>6) ans+=dp[i-1][1];
35       if(digit[i+1]==6 && digit[i]>2) ans+=dp[i][1];
36     }
37     if(digit[i]==4 || (digit[i+1]==6 && digit[i]==2)) flag=1;
38   }
39   return x-ans;
40 }
41 int main()
42 {
43   int a,b;
44   init();
45   while(1) {
46     in(a);in(b);
47     if(!a && !b)  break;
48     cout<<solve(b+1)-solve(a)<<endl;
49   }
50  return 0;
51 }

最後說那個b+1的情況,我們看到程式碼中有判斷digit[i]>4和digit[i]>6等類似的語句,我們處理第i位時,實際上是處理0~digit[i]-1,即[ 0,digit[i] ),而把digit[i]放到下一次去判斷,但我們處理個位時,最後一個是不會去統計的,所以我們把統計的範圍+1,即為[ 0,digit[i]+1 )-->[ 0,digit[i] ],所以就有了solve(b+1)-solve(a)這樣的語句