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題型: 程式設計題   語言: C++;C;VC;JAVA

Description

問題描述：設n是一個正整數。
（1）現在將n分解為若干個互不相同的自然數之和，且使這些自然數的乘積最大。
（2）現在將n分解為若干個自然數之和，且使這些自然數的乘積最大。
程式設計任務：對於給定的正整數n，程式設計計算問題（1）和（2）的最優分解的最大乘積。

注意：
1. 這裡的自然數不含0但允許為1。
2. 特別地，當整數n無法分解為若干互不相同的加數時，即自身視為單獨的一個加數，比如輸入2，問題（1）的解輸出為2。
而如果整數n可以分解為若干互不相同的加數時，不考慮自身為單獨加數的情況，比如4，問題（1）的解輸出為3，而非4。
3. 若干互不相同自然數或若干自然數，這個若干可>=1，也就是可以為1。

輸入格式

只有一個正整數n(1<=n<=100)。

輸出格式

輸出待解問題（1）和（2）的最大乘積，中間空格相連，這兩個數可能較大請皆用64位整數。

如，輸入n為10，若加數互不相同，則n=2+3+5，此時最大乘積為2*3*5=30。
若加數可相同，則n=2+2+3+3，此時最大乘積為2*2*3*3=36。

輸入樣例

10

輸出樣例

30 36

提示

分析：
注意無論是（1）還是（2），乘積皆用64位整數表示。

（1）分解為互不相同自然數之和

注意到： 若a+b等於一個常數，則|a-b|越小，ab就越大。
要使得加數互不相同，又儘可能集中，那加數只能是連續的自然數了。

貪心策略：將n分成從2開始的連續的自然數的和。如果最後剩下一個數，將此剩餘數在後項優先的方式下均勻地分給前面各項。


（2）分解為若干自然數之和

注意到： 若a+b等於一個常數，則|a-b|越小，ab就越大。
若 n = m1+m2+...+mk，則 -1 <= (mi-mj) <= 1，（1<=i<=k， 1<=j<=k），即任意加數的差距不超過正負1。
由於拆分的加數可以相同，任何一個數拆後乘積總比不拆強，因此拆到極盡，極盡的加數為3或2，且拆為3比拆為2好，因此優先拆為3。

貪心策略：
極盡拆解，儘可能先將n拆成3,3,3,...,3；若拆成若干3後還有剩餘，則為2，或2和2。

歸納公式如下：
1)max{m1*m2*...*mk} = 3^(n/3)        if n(mod 3)等於0
2)max{m1*m2*...*mk} = 4*3^[(n-4)/3]  if n(mod 3)等於1
3)max{m1*m2*...*mk} = 2*3^[(n-2)/3]  if n(mod 3)等於2


另外此題所涉的64位整數，如何使用？

編譯環境不同，對64位整數的定義和輸入輸出略有不同：
1） gnu gcc/g++ 中long long型別，或unsigned long long,
輸入輸出用cin和cout直接輸出，用scanf和printf也可以的（但本OJ系統不支援！）。
long long a;
cin >> a;
cout << a;

也可以使用:(注意一下,本OJ系統的gcc/g++不支援64位整數以"%I64d"形式輸出,
但標準gnu gcc是支援如下的,在codeblocks上可以無誤執行)
long long a;
scanf("%I64d",&a);
printf("%I64d",a);

2） VC中用__int64型別，或unsigned __int64
__int64 a;
scanf("%I64d",&a);
printf("%I64d",a);
vc下，64整數不要用cin和cout來輸入輸出，據說vc下64位整數相容不好，會出錯！大家可測試一下如下程式在vc下是否會出錯？
__int64 a;
cin >> a;
cout << a;

作者

zhengchan

我的實現程式碼：

#include <iostream>
#include <math.h>

using namespace std;
/*
測試資料：
 
1
 
2
 
3
 
4
 
10
 
30
 
*/
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    

    if(n == 1 || n == 2)
    {
        // 排除n=1,2的情況
        cout << n << " " << n;
    }else{
        
        // 互不相同自然數之和
        long long _res1 = 1;
        if (n == 3 || n == 4) {
            // 排除n=3,4的情況
            _res1 = n - 1;
        }else{
            
            int _count = 0;
            int _rest = 0,_avg = 0,_mod = 0;
            int a[n + 1];// a[0] 和 a[1]未使用
            
            for(int i = 2; i <= n; i++){
                // 初始化a
                a[i] = 1;
            }
            
            for(int i = 2; i <= n; i++)
            {
                _count += i;
                if(_count > n)
                {
                    _rest = n - (_count - i);// 多出來的部分
                    
                    if (_rest < (i - 2)) {// 不夠每個已選的數都分到1
                        _avg = 1;
                        _mod = 0;
                    }else{// 每個已選的數至少能分到1
                        _avg = _rest / (i - 2);// 平均分個前i - 2個已確定的數
                        _mod = _rest % (i - 2);// 平均分後剩下的
                    }
                    
                    for(int j = i - 1; j >= i - _rest; j--){
                        // 從後往前分配多出來的部分
                        a[j] += _avg;
                    }
                    
                    a[i-1] += _mod;//最後一位+_mod
                    break;
                }
                
                a[i] = i;
            }
            
            for(int i = 2; i <= n; i++)
            {
                _res1 *= a[i];
            }
        }
        
        
        //若干自然數之和
        /*
         歸納公式如下：
         1)max{m1*m2*...*mk} = 3^(n/3)        if n(mod 3)等於0
         2)max{m1*m2*...*mk} = 4*3^[(n-4)/3]  if n(mod 3)等於1
         3)max{m1*m2*...*mk} = 2*3^[(n-2)/3]  if n(mod 3)等於2
         
         */
        
        long long _res2 = 1;
        
        if(n % 3 == 0){
            
            _res2 = pow(3,n/3);
        }else if(n % 3 == 1){
            
            _res2 = 4*pow(3,(n-4)/3);
        }else{
            
            _res2 = 2*pow(3,(n-2)/3);
        }
        cout << _res1 << " " << _res2;
    }
    
    cout << endl;
    return 0;
}