n個商人過河問題

Description

        商人過河問題：n名商人各帶一名隨從過河，一隻小船隻能容納z個人，隨從們約定，只要在河的任何一岸，一旦隨從人數多於商人人數就殺人越貨，但是商人們知道了他們的約定，並且如何過河的大權掌握在商人們手中，商人們該採取怎樣的策略才能安全過河並且渡河次數最少呢??

Explaination

1. 先從一般的例子開始討論，通過3名商人各帶一名隨從過河，一隻小船隻能容納3個人，從此岸的角度確定安全矩陣。再遞推，確定n名商人各帶一名隨從過河，一隻小船隻能容納z個人的安全狀態矩陣(0、1)的規律
2. 然後分類討論，設立判定條件，來討論什麼情況下不存在安全過河狀態以及對安全矩陣的遍歷，通過設定單元陣列來儲存渡河所有過程，以便於後續查詢和判斷
3. 最後通過判斷此岸商人、僕人是否都已經到達彼岸來選擇出最少渡河次數，並輸出一組結果；如果不存在安全到達的情況則輸出No answer!

Example

• 當n=3，z=3時，渡河的最少次數、此岸的商人數和僕人數變化如下：

• k =
  
       5
  
  W =
  
       3     3
       3     1
       3     2
       0     2
       0     3
       0     0

• 當n=5，z=3時，渡河的最少次數、此岸的商人數和僕人數變化如下：

  k =
  
           11
  
  W =
  
            5     5
            5     3
            5     4
            5     1
            5     2
            2     2
            3     3
            0     3
            0     4
            0     2
            0     3
            0     0
   
  

Code

：對於不同情況的m、z只需要修改程式碼中的m、z即可。

% Matlab
clear;
home;
m=3; %商人、僕人數
z=3; %船上可載人數

m=m+1; %矩陣中不存在0位置
A=zeros(m); %列表示商人，行表示僕人
for i=0:m-1 %尋找安全狀態，1為安全，0為不安全
    for j=0:m-1
        if (i==j)||(i==m-1)||(i==0)
            A(i+1,j+1)=1;
        end
    end
end
s={}; %用來存放路徑
p=1;  %用來表示放在每一行的第幾列
R=[]; %特殊情況
s{1,1}=[m,m,1]; %[a,b,c]a表示此岸商人數，b表示此岸僕人數，c表示由上面情況c推的

for t=1:100 %迴圈上界適當
    flag=0; %用來判斷是否重複
    trump=0; %用來判斷是否已經存在可安全渡河的情況
    k=t; %k表示渡河次數
    if z>=2*(m-1) %當船載人數大於或等於總人數
        k=1 
        R=[m-1,m-1;0,0]
        break;
    end 
    
    for a=1:sum(~cellfun(@isempty, s(k,:))) %表示有幾種情況（相對於同一個k來說）
        if a==1 %第一種情況，從第一個列開始存
            p=1;
        end
        n1=s{k,a}(1,1); %賦值，商人數
        n2=s{k,a}(1,2); %賦值，僕人數
        
        for i=0:z %渡河
            for j=0:z
                if (i+j>=1 && i+j<=z) && (n1+i*(-1)^k<=m && n1+i*(-1)^k>=1) && (n2+j*(-1)^k<=m && n2+j*(-1)^k>=1) && (A(n1+i*(-1)^k,n2+j*(-1)^k)==1)
                %條件判斷
                    if k>=2 %判斷是否重複
                        for e=1:sum(~cellfun(@isempty, s(k-1,:)))
                            if (s{k-1,e}(1,1)==n1+i*(-1)^k) && (s{k-1,e}(1,2)==n2+j*(-1)^k)
                                flag=1; %如果發現重複，則flag==1
                                break;
                            end
                        end
                    end
                    if flag==0 %不重複存入
                        s{k+1,p}=[n1+i*(-1)^k,n2+j*(-1)^k,a];
                        p=p+1;
                    end
                    flag=0; %每一次判斷之後flag都要歸0
                end
            end
        end
    end
    
    k=k+1; %一次考慮完後k+1
    s{k+1,1}=[]; %往下建立空cell
    if sum(~cellfun(@isempty, s(k,:)))==0 %判斷是否有新的情況生成，0表示s{k,:}全部為空
        'No answer!'
        break;
    end
    
    for win=1:sum(~cellfun(@isempty, s(k,:))) %判斷是否已有完成任務的情況
        if s{k,win}(1,1)==1 && s{k,win}(1,2)==1
            trump=1;
            break;
        end
    end
    if trump==1
        k=k-1
        break;
    end
end

if trump==1  %輸出一組結果
    W=[];
    qq=win;
    for oo=1:k+1
        W(oo,1)=s{k+2-oo,qq}(1,1)-1;
        W(oo,2)=s{k+2-oo,qq}(1,2)-1;
        qq=s{k+2-oo,qq}(1,3);
    end
    W=flipud(W)
end
 

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