問題描述

三名商人各帶一個隨從乘船渡河，一隻小船隻能容納兩人，由於他們自己划行，隨從密約，在和的任一岸，一旦隨從的人數比商人多，就殺人越貨，但是如何安排乘船的大權安排在商人們的手中，商人們怎樣才能安全渡河？

模型假設

我們需要對問題做一些假設：
1. 每個商人和隨從都會划船
2. 只有一條船，且每條船上最多隻能乘坐兩個人
3. 所有商人與隨從之間沒有矛盾，不會出現兩人不願意坐一條船的現象
4. 船在渡河的過程中不受外界環境的影響

模型構造

記第 k 次過河前此岸的商人數為 xk , 隨從數為 yk , k = 1, 2, 3…, xk ,yk = 0, 1, 2, 3

定義狀態： 將二維向量 sk = ( xk , yk ) 定義為狀態

將安全渡河狀態下的狀態集合定義為允許狀態集合， 記為

S = {(x,y) | x=0,y=0,1,2,3; x=y=1; x=y=2; x=3,y=0,1,2,3}
記第 k 次渡河船上的商人數為 uk ， 隨從數為 vk

定義決策： 將二維向量 dk = (uk , vk) 定義為決策

允許決策集合 記作

D = {(u,v) | 1 ≤ u+v ≤ 2, u,v = 0,1,2}
因為小船容量為2，所以船上人員不能超過2，而且至少要有一個人划船，由此得到上式。

由我們定義的狀態 sk 和決策 dk ，我們可以發現它們之間是存在聯絡的：

k 為奇數是表示船由此岸划向彼岸，k 為偶數時表示船由彼岸劃回此岸

狀態 sk 是隨著決策 dk 變化的，規律為：

sk+1 = sk + (-1)kdk
我們把上式稱為狀態轉移律，因此渡河方案可以抽象為如下的多步決策模型：

求決策 dk ∈ D(k = 1,2,…,n) , 使狀態 sk ∈ S 按照轉移率，初始狀態 s1 = (3,3) 經有限步 n 到達狀態 sn+1 = (0,0)

到這裡，整個數學模型就已經非常清晰了，接下來要做的就是求解模型得出結果。

模型求解

#include <cstdio>
#define maxn 101
int num;//number
 
 of bus or fol
int graph[maxn*maxn][maxn*maxn];
int state[maxn][maxn];

//when cross river
int c_bus[5] = {2, 1, 0, 1, 0};
int c_fol[5] = {0, 1, 2, 0, 1};
int b_step[maxn*maxn];
int f_step[maxn*maxn];

bool flag = false;
void DFS(int bus, int fol, int step, int dir)
{
    b_step[step] = bus, f_step[step] = fol;
    if(bus == 0 && fol == 0)
    {
        for(int i = 0; i <= step; i++)
        {
            printf("(%d,%d)", b_step[i], f_step[i]);
            if(i != step )
                printf(" -> ");
        }
        printf("\n");
        flag = true;
    }
    int fa = bus * ( num + 1 ) + fol;
    for(int i = 0; i < 5; i++)
    {
        if(dir)
        {
            int b_next = bus - c_bus[i], f_next = fol - c_fol[i];
            if(b_next >= 0 && b_next < num+1 && f_next >= 0 && f_next < num + 1 && state[b_next][f_next])
            {
                int son = b_next * ( num + 1 ) + f_next;
                if(!graph[fa][son] && !graph[son][fa])
                {
                    graph[fa][son] = 1;
                    graph[son][fa] = 1;
                    DFS(b_next, f_next, step + 1, !dir);
                    graph[fa][son] = 0;
                    graph[fa][son] = 0;
                }
            }
        }
        else
        {
            int b_next = bus + c_bus[i], f_next = fol + c_fol[i];
            if(b_next >= 0 && b_next < num + 1 && f_next >= 0 && f_next < num + 1 && state[b_next][f_next])
            {
                int son = b_next * ( num + 1) + f_next;
                if(!graph[fa][son] && !graph[son][fa])
                {
                    graph[fa][son] = 1;
                    graph[son][fa] = 1;
                    DFS(b_next, f_next, step + 1, !dir);
                    graph[fa][son] = 0;
                    graph[fa][son] = 0;
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    printf("Please input the number of the businessman: ");
    scanf("%d",&num);
    for(int i = 0; i < num + 1; i++)
    {
        state[i][0] = 1;
        state[i][num] = 1;
        state[i][i] = 1;
    }
    DFS(num, num, 0, 1);
    if(!flag)
        printf("they can't cross the river.");
}