前幾天氪了本《具體數學》，感覺開了個天坑qwq，現在已經看了一些了，裡面一些很有意思的性質，稍微紀錄一下吧。

以後爭取每天能看一點，當然不一定是按順序看。

第1章 遞迴問題

1.1河內塔

$n$個盤子的漢諾塔問題需要移動$2^n - 1$次

1.2平面上的直線

$n$條直線最多能將平面劃分為$\frac{n(n+1)}{2}$ + 1個區域

1.3約瑟夫問題

約瑟夫問題：$n$個人圍成一個圈，每隔兩個人殺死一個人，問最後誰會活下來

設$J(n)$表示答案，$n =(b_{m - 1}\dots b_1b_0bm)2$

$J((b_mb_{m - 1}\dots b_1b_0)_2) = (b_{m - 1}\dots b_1b_0bm)2$

即$J(n) = n_2 \  left \  rotate$(左迴圈一位)

第2章 和式

2.1 記號

$\sum_{k = 1} ^n a_k$

$\sum$後面的量成為被加數(summand)

$\sum_{k=1}^{\pi(N)}\frac{1}{p_k}$

其中$p_k$表示第$k$個素數，$\pi(N)$是$\leqslant N$的素數的個數。

這個和式給出了接近$N$的隨機整數平均而言有多少個素因子，因為那些整數中大約有$1/p$個能被$p$整除，對於大的$N$，它的值近似等於$lnlnN + M$，其中

$$M \approx 0.261 4972128476427837554268386086958590515666$$

是麥爾騰(mertens)常數(百度不到這個人？！)

2.2 和式和遞迴式

將$a_nT_n = b_nT{n - 1} + s_nc_n$轉化為和式

$$T_n = \frac{1}{s_na_n}(s_1b_1T_0+\sum_{k = 1}^n s_kc_k)$$

其中$$s_n = \frac{a_{n-1}a_{n-2}\dots a_1}{b_nb_{n-1}\dots b_2}$$

$H_n = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}$

字母$H$表示“調和的”,$H_n$稱為一個“調和數

2.3 和式的處理

設$K$是任意一個有限整數集合，$K$中元素的和式可以用三條簡單的法則加以變換：

$$\sum_{k \in K}ca_k = c \sum_{k \in K}a_k$$

$$\sum_{k \in K}(a_k + b_k) = \sum_{k \in K}a_k + \sum_{k \in K}b_k$$

$$\sum_{k \in K}a_k = \sum_{p(k) \in K} a_{p(k)}$$

第4章 數論

4.1 整除性

如果$m > 0$且比值$n \mid m$是一個整數，我們就說$m$整除$n$（或者$n$被$m$整除）

$m \mid n \Longleftrightarrow m > 0 $且對某個整數$k$有$n = mk$

如果$m$不整除$n$，我們就寫成$m \nmid n$

兩個整數$m$和$n$的最大公因子(greatest common divisor)是能整除他們兩者的最大整數

$$gcd(m, n) = max\{k \ that \ k\mid m 且 k \mid n\}$$

4.2 素數

如果一個正整數$p$恰好只有兩個因子，即$1$和$p$，那麼這個數就稱為素數（prime）

算術基本定理：有且僅有一種方式將$n$按照素數非減的次序寫成素數的成績

$$n = p_1 \dots p_m = \prod_{k = 1}^m p_k$$

4.3 素數的例子

素數有無窮多個

形如$2^p - 1$的數，稱為梅森素數(Mersenne number)

4.4 階乘的因子

斯特林公式

$$n! \approx \sqrt{2 \pi n}(\frac{n}{e})^n $$

4.5 互素

當$gcd(m,n) = 1$時，整數$m$和$n$沒有公共的素因子，我們就稱它們是互素的(relatively prime)

若$m \bot n \Longleftrightarrow m,n$是整數，且$gcd(m,n) = 1$

Stern-Brocot樹：構造由滿足$m \bot n$的全部非負的分數$frac{m}{n}$組成的集合

構造方法：首先從$(\frac{0}{1},\frac{1}{0})$出發，每次在兩個相鄰接的分數$\frac{m}{n}$和$\frac{m'}{n'}$之間插入$\frac{m + m'}{n + n'}$

性質：

1. 如果$\frac{m}{n}$和$\frac{m'}{n'}$是這個構造中任何一個階段的相鄰的分數，我們就有$$m'n - mn' = 1$$

2. 對於分數$\frac{a}{b}$，至多在$a + b$步之後我們一定會得到$\frac{a}{b}$

階為$N$的法裡級數(Farey serires)記為$F_n$，它是介於$0$到$1$之間的分母不超過$N$的所有最簡分陣列成的集合，且按照遞增的次序排列

遞推方法：$F_n$可以由$F_{n - 1}$中分母之和等於$N$的相鄰分數$\frac{m}{n}$和$\frac{m'}{n'}$之間插入分數$\frac{m + m'}{N}$得到。

當$N$是素數時，將會出現$N - 1$個新的分，否則會有少於$N - 1$個新的分數

4.9 $\phi $函式和$ \mu $函式

$phi $函式性質

1.$n^{\phi{m}} \equiv p^k - p^{k - 1}$

2.若$p$為素數，$\phi(p^k) = p^k - p^{k - 1}$

因為$\phi$函式為積性函式，因此$$\phi(m) = \prod_{p \mid m}(p^{m_p} - p^{m_p - 1}) = m \prod_{p \mid m}(1 - \frac{1}{p})$$

3.$\sum_{d \mid m} \phi(d) = m$

積性函式

如果$f(1) = 1$，且$$f(m_1m_2) = f(m_1)f(m_2)$$

只要$m_1 \bot m_2$，那麼正整數的函式$f(m)$稱為是積性的(multiplicative)

第6章 特殊的數

6.6 斐波那契數

1.卡西尼不等式
$$F_{n + 1}F_{n - 1} - F_n^2 = (-1)^n, n > 0$$

2.

$$F_{n + k} = F_kF_{n + 1} + F_{k - 1}F_n$$

3.
$F_{kn}$都是$F_n$的倍數，其逆命題也成立

4.如果$n > 2$，則斐波那契數$F_m$是$F_n^2$的倍數，當且僅當$m$是$nF_n$的倍數

5.每一個正整數都可以用斐波那契數唯一表示

$n = F_{k_1} + F_{k_2}+ \dots + F_{k_r}, k_1 \gg k_2 \gg \dots \gg k_r \gg 0$