安卓圖形matrix矩陣變換的數學原理及程式碼

第一部分 Matrix的數學原理

在Android中，如果你用Matrix進行過影象處理，那麼一定知道Matrix這個類。Android中的Matrix是一個3 x 3的矩陣，其內容如下：

Matrix的對影象的處理可分為四類基本變換：

Translate 平移變換

Rotate 旋轉變換

Scale 縮放變換

Skew 錯切變換

從字面上理解，矩陣中的MSCALE用於處理縮放變換，MSKEW用於處理錯切變換，MTRANS用於處理平移變換，MPERSP用於處理透視變換。實際中當然不能完全按照字面上的說法去理解Matrix。同時，在Android的文件中，未見到用Matrix進行透視變換的相關說明，所以本文也不討論這方面的問題。

針對每種變換，Android提供了pre、set和post三種操作方式。其中

set用於設定Matrix中的值。

pre是先乘，因為矩陣的乘法不滿足交換律，因此先乘、後乘必須要嚴格區分。先乘相當於矩陣運算中的右乘。

post是後乘，因為矩陣的乘法不滿足交換律，因此先乘、後乘必須要嚴格區分。後乘相當於矩陣運算中的左乘。

除平移變換(Translate)外，旋轉變換(Rotate)、縮放變換(Scale)和錯切變換(Skew)都可以圍繞一箇中心點來進行，如果不指定，在預設情況下是圍繞(0, 0)來進行相應的變換的。

下面我們來看看四種變換的具體情形。由於所有的圖形都是有點組成，因此我們只需要考察一個點相關變換即可。

一、平移變換

假定有一個點的座標是，將其移動到，再假定在x軸和y軸方向移動的大小分別為：

如下圖所示：

不難知道：

如果用矩陣來表示的話，就可以寫成：

二、旋轉變換

2.1 圍繞座標原點旋轉：

假定有一個點，相對座標原點順時針旋轉後的情形，同時假定P點離座標原點的距離為r，如下圖：

那麼，

如果用矩陣，就可以表示為：

2.2 圍繞某個點旋轉

如果是圍繞某個點順時針旋轉，那麼可以用矩陣表示為：

可以化為：

很顯然，

是將座標原點移動到點後，的新座標。

是將上一步變換後的，圍繞新的座標原點順時針旋轉。

經過上一步旋轉變換後，再將座標原點移回到原來的座標原點。

所以，圍繞某一點進行旋轉變換，可以分成3個步驟，即首先將座標原點移至該點，然後圍繞新的座標原點進行旋轉變換，再然後將座標原點移回到原先的座標原點。

三、縮放變換

理論上而言，一個點是不存在什麼縮放變換的，但考慮到所有影象都是由點組成，因此，如果影象在x軸和y軸方向分別放大k1和k2倍的話，那麼影象中的所有點的x座標和y座標均會分別放大k1和k2倍，即

用矩陣表示就是：

縮放變換比較好理解，就不多說了。

四、錯切變換

錯切變換(skew)在數學上又稱為Shear mapping(可譯為“剪下變換”)或者Transvection(縮並)，它是一種比較特殊的線性變換。錯切變換的效果就是讓所有點的x座標(或者y座標)保持不變，而對應的y座標(或者x座標)則按比例發生平移，且平移的大小和該點到x軸(或y軸)的垂直距離成正比。錯切變換，屬於等面積變換，即一個形狀在錯切變換的前後，其面積是相等的。

比如下圖，各點的y座標保持不變，但其x座標則按比例發生了平移。這種情況將水平錯切。

下圖各點的x座標保持不變，但其y座標則按比例發生了平移。這種情況叫垂直錯切。

假定一個點經過錯切變換後得到，對於水平錯切而言，應該有如下關係：

用矩陣表示就是：

擴充套件到3 x 3的矩陣就是下面這樣的形式：

同理，對於垂直錯切，可以有：

在數學上嚴格的錯切變換就是上面這樣的。在Android中除了有上面說到的情況外，還可以同時進行水平、垂直錯切，那麼形式上就是：

五、對稱變換

除了上面講到的4中基本變換外，事實上，我們還可以利用Matrix，進行對稱變換。所謂對稱變換，就是經過變化後的影象和原影象是關於某個對稱軸是對稱的。比如，某點經過對稱變換後得到，

如果對稱軸是x軸，難麼，

用矩陣表示就是：

如果對稱軸是y軸，那麼，

用矩陣表示就是：

如果對稱軸是y = x，如圖：

那麼，

很容易可以解得：

用矩陣表示就是：

同樣的道理，如果對稱軸是y = -x，那麼用矩陣表示就是：

特殊地，如果對稱軸是y = kx，如下圖：

那麼，

很容易可解得：

用矩陣表示就是：

當k = 0時，即y = 0，也就是對稱軸為x軸的情況；當k趨於無窮大時，即x = 0，也就是對稱軸為y軸的情況；當k =1時，即y = x，也就是對稱軸為y = x的情況；當k = -1時，即y = -x，也就是對稱軸為y = -x的情況。不難驗證，這和我們前面說到的4中具體情況是相吻合的。

如果對稱軸是y = kx + b這樣的情況，只需要在上面的基礎上增加兩次平移變換即可，即先將座標原點移動到(0, b)，然後做上面的關於y = kx的對稱變換，再然後將座標原點移回到原來的座標原點即可。用矩陣表示大致是這樣的：

需要特別注意：在實際程式設計中，我們知道螢幕的y座標的正向和數學中y座標的正向剛好是相反的，所以在數學上y = x和螢幕上的y = -x才是真正的同一個東西，反之亦然。也就是說，如果要使圖片在螢幕上看起來像按照數學意義上y = x對稱，那麼需使用這種轉換：

要使圖片在螢幕上看起來像按照數學意義上y = -x對稱，那麼需使用這種轉換：

關於對稱軸為y = kx 或y = kx + b的情況，同樣需要考慮這方面的問題。

第二部分程式碼驗證

在第一部分中講到的各種影象變換的驗證程式碼如下，一共列出了10種情況。如果要驗證其中的某一種情況，只需將相應的程式碼反註釋即可。試驗中用到的圖片：

其尺寸為162 x 251。

每種變換的結果，請見程式碼之後的說明。

Java程式碼

<span style="font-size:13px;"></span><pre name="code" class="java">package com.pat.testtransformmatrix;
import android.app.Activity;
import android.content.Context;
import android.graphics.Bitmap;
import android.graphics.BitmapFactory;
import android.graphics.Canvas;
import android.graphics.Matrix;
import android.os.Bundle;
import android.util.Log;
import android.view.MotionEvent;
import android.view.View;
import android.view.Window;
import android.view.WindowManager;
import android.view.View.OnTouchListener;
import android.widget.ImageView;
public class TestTransformMatrixActivity extends Activity
implements
OnTouchListener
{
private TransformMatrixView view;
@Override
public void onCreate(Bundle savedInstanceState)
{
super.onCreate(savedInstanceState);
requestWindowFeature(Window.FEATURE_NO_TITLE);
this.getWindow().setFlags(WindowManager.LayoutParams.FLAG_FULLSCREEN, WindowManager.LayoutParams.FLAG_FULLSCREEN);
view = new TransformMatrixView(this);
view.setScaleType(ImageView.ScaleType.MATRIX);
view.setOnTouchListener(this);
setContentView(view);
}
class TransformMatrixView extends ImageView
{
private Bitmap bitmap;
private Matrix matrix;
public TransformMatrixView(Context context)
{
super(context);
bitmap = BitmapFactory.decodeResource(getResources(), R.drawable.sophie);
matrix = new Matrix();
}
@Override
protected void onDraw(Canvas canvas)
{
// 畫出原影象
canvas.drawBitmap(bitmap, 0, 0, null);
// 畫出變換後的影象
canvas.drawBitmap(bitmap, matrix, null);
super.onDraw(canvas);
}
@Override
public void setImageMatrix(Matrix matrix)
{
this.matrix.set(matrix);
super.setImageMatrix(matrix);
}
public Bitmap getImageBitmap()
{
return bitmap;
}
}
public boolean onTouch(View v, MotionEvent e)
{
if(e.getAction() == MotionEvent.ACTION_UP)
{
Matrix matrix = new Matrix();
// 輸出影象的寬度和高度(162 x 251)
Log.e("TestTransformMatrixActivity", "image size: width x height = " + view.getImageBitmap().getWidth() + " x " + view.getImageBitmap().getHeight());
// 1. 平移
matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth(), view.getImageBitmap().getHeight());
// 在x方向平移view.getImageBitmap().getWidth()，在y軸方向view.getImageBitmap().getHeight()
view.setImageMatrix(matrix);
// 下面的程式碼是為了檢視matrix中的元素
float[] matrixValues = new float[9];
matrix.getValues(matrixValues);
for(int i = 0; i < 3; ++i)
{
String temp = new String();
for(int j = 0; j < 3; ++j)
{
temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t";
}
Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);
}
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