BZOJ1025:[SCOI2009]遊戲
阿新 • • 發佈：2019-01-18
個數字 sigma 包含 其中 amp 我們 esc 現在 一個
1 2 3 4 5 6
這時，我們就有若幹排1到N的排列，上例中有7排。現在windy想知道，對於所有可能的對應關系，有多少種可
能的排數。
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Description
windy學會了一種遊戲。對於1到N這N個數字，都有唯一且不同的1到N的數字與之對應。最開始windy把數字按
順序1，2，3，……，N寫一排在紙上。然後再在這一排下面寫上它們對應的數字。然後又在新的一排下面寫上它們
對應的數字。如此反復，直到序列再次變為1，2，3，……，N。
如： 1 2 3 4 5 6 對應的關系為 1->2 2->3 3->1 4->5 5->4 6->6
windy的操作如下
1 2 3 4 5 6
2 3 1 5 4 6
3 1 2 4 5 6
1 2 3 5 4 6
2 3 1 4 5 6
1 2 3 4 5 6
這時，我們就有若幹排1到N的排列，上例中有7排。現在windy想知道，對於所有可能的對應關系，有多少種可
能的排數。
Input
包含一個整數N,1 <= N <= 1000
Output
包含一個整數，可能的排數。
Sample Input
【輸入樣例一】
3
【輸入樣例二】
10
Sample Output
【輸出樣例一】
3
【輸出樣例二】
16
Solution
就是求所有長度為\(n\)的置換的循環節長度的種數.
一個置換的循環節等於它各個循環拆分長度的lcm. 所以問題變為:
已知\(\sigma_{i=1}^k a_i = n\)
考慮到
\[ lcm\{a_i\} = \prod p_i^{max\{\alpha_i\}}\]
其中\(p_i\)為質數. 也就是每個數唯一分解後對指數取max的結果.
我們可以分開考慮每個質數:
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