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最短路徑Floyd演算法具體演示

----用VC++來實現路由選擇演算法

摘要：

確定圖的路由選擇的策略要考慮很多技術因素。其包括：選擇最短路由還是最佳路由；Floyd提出圖的求每一對頂點之間最短路徑的方法，由於好多教材採用的是字元介面演算法演示，不是很直觀，而且不符合當前windows介面程式設計趨勢。為此，經過反覆的探索和實踐，充分結合VC++強大而靈活的程式設計模式，基於對話方塊MFC，成功完成看似頗難的任務。為後續的進一步演變，創造了一個良好的基礎原型。

關鍵字：

網路節點，路由選擇，圖，有向圖和無向圖，頂點，最短路徑，臨接矩陣，Floyd演算法，

Dijkstra演算法

正文：

通訊子網為網路源節點和目的節點提供多條傳輸資料的路徑。網路是節點在收到一個分組後。要確定向下一個節點傳送的路徑，這就是路由選擇。路由選擇是網路層要實現的基本功能。在資料報方式中，網路節點要為每個分組選擇路由；而在虛電路方式中，只需在連線建立時確定路由。

若要建立一個路由資訊系統，可用一個帶權的圖來表示一個網路。用圖的頂表示地點，用圖中的邊表示兩地之間的資訊路線，每條邊上所附的權值表示該路線的----------。根據實際情況，該圖可以是有向圖和無向圖。我們暫以最短路徑表示其權值。在圖甲所示的帶權的有向圖中，從V0到V2有兩條不同路徑：(V0,V1,V2)和(V0,V3,V4,V2),前者路徑長度為

90，後者路徑長度為80，即為最短路徑。

如果給定一個出發點（單源點）和一個有向網 G=(V,E),欲求出源點到其他各定點之間的最短路徑，迪傑斯特拉（Dijkstra）提出了按路徑長度的遞增次序，逐步產生最短路徑的演算法。演算法思想：設集合S存放已經求出的最短路徑的終點，初始狀態時，集合S中只有一個源點，不妨設為V0。以後每求得一條最短路徑(V0,V1,…,Vk),就將Vk加入到集合S中，直到全部頂點都加入到集合S中。

為此引入一個附助陣列dist[],它的每一個分量dist[i]表示當前從源點V0到Vi的最短路徑長度。它的初始狀態：若從源點V0到頂點Vi有邊，則dist[i]為該邊上的權值；若從源點到頂點

Vi沒有邊，則dist[i]為MAXNUM。

顯然，路徑長度為dist[j]=min{dist[I]|Vi∈V-v0}的路徑是從V0出發的長度最短路徑，即為(V0,Vj),隨即將Vj加入到集合S中。如何求得下一條最短路徑？由於V0到Vj的最短路徑已求得，可能引起V0到其餘頂點的當前最短路徑長度發生變化，V0到Vk的當前最短路徑長度只能是(V0,Vk)和(V0,Vj,Vk)的小者。

假設S是已求得的最短路徑的終點集合，可以證明：下一條最短路徑(設終點為Vt)或者是(V0,Vt),或者是中間只經過S中頂點便可到達頂點Vt的路徑。這可以用反證法證明：設在此路徑上存在一個頂點Vp不在S中，則說明V0到Vp的路徑長度比V0到Vt的最短路徑長度還短。然而這是不可能的，因為我們是按照最短路徑長度遞增的次序來逐次產生各條最短路徑的，因此，長度比這條路徑短的所有路徑均已產生，而且它們的終點也一定已在集合S中，故假設不成立。

因此，在一般情況下，下一條長度最短最短路徑長度為dist[k]=min{dist[i]/Vi∈V-S}

在每次求得一條最短路徑之後，其終點Vk加入集合S，然後對所有的Vi∈V－S，修改其當前最短路徑長度dist[i]=min{dist[i],dist[k]+Edge[k][i]},其中，Edge[k][i]是邊（Vk,Vi）上的權值。下面給出Dijkstra演算法：

const int NumVer=0;//

class Graph

{

private:

float Edge[NumVex][NumVex];//圖的臨接矩陣

float dist[NumVex];//存放從頂點V到其它各頂點的當前最短路徑長度。

int path[NumVex];

int S[NumVex];//存放已求得的在最短路徑上的頂點

public:

void ShortestPath_Dijkstra(int ,int);

int choose(int);

};

void Graph::ShortestPath_ Dijkstra(int n ,int v)

{

for(int i=0;i<n;i++)

{

//dist,path,S的初始化

dist[i]=Edge[v][i];

S[i]=0;

If(I!=v;&&dist[I]<MAXNUM)

path[I]=v;

else

Path[I]=-1;

}

s[v]=1;

dist[v]=0;//頂點v加入已求出最短路徑的頂點集合

for(i=0;i<n-1;i++)

{

float min=MAXNUM;

int u=v;

for(int j=0;j<n;j++)//選擇當前不在集合S中具有最短路徑的頂點u

if(!S[j]&&dist[j]<min)]

{
u=j;

min=dist[j];

}

S[u]=1;//頂點u加入已求出最短路徑的頂點集合

for(int w=0;w<n;w++) //修改其餘頂點的當前最短路徑

if(!S[w]&&Edge[u][w]<MAXNUM&&dist[u]+Edge[u][w]<dist[w])

{

dist[w]=dist[u]+Edge[u][w];

path[w]=u;

}

}

}

如果要按求出每對頂點之間的最短路徑，須分別以每個頂點為源點，重複執行Dijkstra演算法。這樣就求得每對頂點之間的最短路徑及最短路徑長度.我們使用更直接求解演算法，稱為Floyd（弗洛伊德）演算法。

帶權有向圖仍然用鄰接矩陣Edge[n][n]表示，Dijkstra演算法的基本思想是：設定一個n＊n的方陣dist[n][n],初始化時，對角線的元素都等於零，表示頂點到自己的路徑長度為0，其他元素dist[i][j]為Edge[i][j]的值，表示從頂點Vi到的頂點Vj的初試路徑長度。該路徑不一定是最短路徑，尚需進行n次試探。首先考慮頂點V0作為中間頂點，判斷路徑(Vi,V0,Vj)是否存在，即（Vi,V0）和(V0,Vj)是否存在。如果存在，取(Vi,Vj)與(Vi,V0,Vj)的小者為Vi到Vj的當前的最短路徑長度distj[i][j],也就是Vi到Vj經過的中間頂點序號不大於0的最短路徑長度。其次中間頂點序號可增加考慮頂點V1，因為dist[i][1]和dist[1][j]分別為Vi到V1和V1到Vj經過的中間頂點序號不大於0的最短路徑長度，所以dist[i][1]+dist[1][j]與dist[i][j]的小者即為Vi到Vj經過的中間頂點序號不大於1的最短路徑長度，作為當前最短路徑長度dist[i][j].然後再增加考慮頂點V2，以此類推，考慮所有n個頂點後，dist[i][j]的值就是Vi到Vj的最短路徑的長度。

　由於好多教材採用的是字元介面演算法演示，不是很直觀，而且不符合當前windows介面程式設計趨勢。為此，經過反覆的探索和實踐，充分結合VC++強大而靈活的程式設計模式，基於對話方塊MFC，成功完成看似頗難的任務。

從下圖介面可知，此帶權有向圖頂點假設為V0,V1,…V18,V19，共２０個，兩點之間有單向的，也有雙向的。有向圖實際分成兩個不相通的兩部分。如果使用者任選兩個頂點，比如V0及Ｖ13（注意：先點選V0的為源點，後點擊的Ｖ13為目的點，超過兩個或一個無效），然後點選開始按鈕，通過後臺的一系列介面事件處理程式碼及Floyd（弗洛伊德）演算法運算，然後把路徑顯示在相應視窗中，比如13<<9<<5<<6<<4<<0，它代表路徑為：V0->V4->V6->V5->V9->V13同時。路徑總長為47。如果兩頂點不通，路徑及總長度無效。

 

下面分析一下其中主要演算法：

首先在CGraphFloydDlg中，建立三個private的變數：

intiVertexFlag1;

intiVertexFlag2;

intiVertexSelected;

控制源及目的頂點的選擇及順序。

然後在CGraphFloydDlg的實現檔案中，建立

int Edge[20][20];

int Dist[20][20];

int Path[20][20];//其中Path[i][j]是相應路徑上頂點ｊ的前一頂點的頂點號。

const int MAXNUM = 9999;//

找到BOOL CGraphFloydDlg::OnInitDialog()函式，在其中新增如下程式碼：

…

// TODO: Add extra initialization here

iVertexSelected=0;

iVertexFlag1=-1;

iVertexFlag2=-1;

for(int i=0;i<20;i++)

for(int j=0;j<20;j++)

{

if(i==j)

Edge[i][j]=0;

else

Edge[i][j]=MAXNUM;

}

Edge[0][2]=20,Edge[0][4]=12;

Edge[1][0]=10;

Edge[2][5]=22;

Edge[3][1]=14;

Edge[4][3]=33,Edge[4][6]=8;

Edge[5][4]=11,Edge[5][9]=7;

Edge[6][4]=8,Edge[6][5]=6,Edge[6][12]=56;

Edge[7][8]=13,Edge[7][10]=19,Edge[7][11]=16;

Edge[8][7]=13;

Edge[9][5]=7,Edge[9][13]=14;

Edge[10][14]=22;

Edge[11][7]=16,Edge[11][14]=77,Edge[11][15]=13;

Edge[12][6]=56,Edge[12][13]=21;

Edge[13][12]=21,Edge[13][16]=8,Edge[13][17]=22;

Edge[14][11]=77 ,Edge[14][19]=9 ;

Edge[15][11]=13,Edge[15][18]=11;

Edge[16][17]=23;

Edge[17][12]=26;

Edge[18][15]=11;

Edge[19][18]=88;

…

通過以上程式碼完成對圖的頂點選擇變數及臨接矩陣的初始化。鄰接矩陣的初始值實為上述圖片中，所標註的頂點之間的值。

假如選擇V0頂點時，將要觸發

void CGraphFloydDlg::OnV0()

{

// TODO: Add your control notification handler code here

CButton *p0=(CButton *)GetDlgItem(IDC_V0);

if((!p0->GetCheck())&&(iVertexSelected>0))

{

iVertexSelected--;

if(iVertexFlag1==0)

{

iVertexFlag1=iVertexFlag2;

iVertexFlag2=-1;

}

else if(iVertexFlag2==0)

iVertexFlag2=-1;

}

else if((iVertexSelected==0)&&(p0->GetCheck()))

{

iVertexSelected++;

iVertexFlag1=0;

}

else if((iVertexSelected==1)&&(p0->GetCheck()))

{

iVertexSelected++;

iVertexFlag2=0;

}

else if((iVertexSelected>=2)&&(p0->GetCheck()))

{

AfxMessageBox("頂點數不容許超過2個!");

p0->SetCheck(FALSE);

}

}

假如選擇V13頂點時，將要觸發

void CGraphFloydDlg::OnV13()

{

// TODO: Add your control notification handler code here

CButton *p13=(CButton *)GetDlgItem(IDC_V13);

if((!p13->GetCheck())&&(iVertexSelected>0))

{

iVertexSelected--;

if(iVertexFlag1==13)

{

iVertexFlag1=iVertexFlag2;

iVertexFlag2=-1;

}

else if(iVertexFlag2==13)

iVertexFlag2=-1;

}

else if((iVertexSelected==0)&&(p13->GetCheck()))

{

iVertexSelected++;

iVertexFlag1=13;

}

else if((iVertexSelected==1)&&(p13->GetCheck()))

{

iVertexSelected++;

iVertexFlag2=13;

}

else if((iVertexSelected>=2)&&(p13->GetCheck()))

{

AfxMessageBox("頂點數不容許超過2個!");

p13->SetCheck(FALSE);

}

}

一方面判斷頂點的選擇順序情況，修改相應的變數，另一方面，控制使用者選擇的數量，如果不符合要求，會取消當前操作。

對於其他頂點的觸發，同樣會執行類似的函式。

當用戶選擇好頂點時，點選開始按鈕，將執行如下函式：

void CGraphFloydDlg::OnStart()

{

// TODO: Add your control notification handler code here

if(iVertexSelected==2)

{

for( int i=0;i<20;i++)

for(int j=0;j<20;j++)

{

Dist[i][j]=Edge[i][j];//初始化dist

if((i!=j)&&Dist[i][j]<MAXNUM)

Path[i][j]=i;

else

Path[i][j]=-1;

}

for(int k=0;k<20;k++)//逐次增加中間頂點k

for(int m=0;m<20;m++)

for(int n=0;n<20;n++)

{

if(Dist[m][k]+Dist[k][n]<Dist[m][n])//當前最短路徑經過中間頂點k

{

Dist[m][n]=Dist[m][k]+Dist[k][n];

Path[m][n]=Path[k][n];

}

}

m_iMinLen=Dist[iVertexFlag1][iVertexFlag2];

int iPath=iVertexFlag2;

m_strVs="";

CString strTemp;

strTemp.Format("%d<<",iVertexFlag2);

m_strVs+=strTemp;

while(Path[iVertexFlag1][iPath]>-1)

{

strTemp.Format("%d<<",Path[iVertexFlag1][iPath]);

m_strVs+=strTemp;

iPath=Path[iVertexFlag1][iPath];

}

m_strVs.TrimRight("<<");

if(m_iMinLen==MAXNUM)

{

m_iMinLen=-1;

m_strVs="此路不通!";

}

UpdateData(FALSE);

}

else

{

m_strVs=" 請選則兩個有向點。";

m_iMinLen=-1;

UpdateData(FALSE);

}

}

程式碼首先判斷頂點選擇數量是否為合法的二個，如果是，執行Floyd（弗洛伊德）演算法，求出最短路徑的長度及最短路徑字串。如果只選擇一個頂點或兩個頂點路徑不通，給出提示資訊。

確定路由選擇的策略要考慮很多技術因素。其包括：選擇最短路由還是最佳路由；通訊子網採用虛電路操作方式，還是資料報操作方式；採用分散式路由演算法，還是集中式路由演算法；採用靜態路由選擇策略，還是動態路由選擇策略等。所以，路由選擇演算法(Routing Algorithm)以及它們使用的資料結構是網路層涉及的一個重要研究領域。

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參考文獻：

1．嚴蔚敏，吳偉民.資料結構（C語言版）.北京：清華大學出版社，1996

2．張福炎.《〈程式設計師高階程式設計師程式設計及〉》（第二版）. 北京：清華大學出版社，1996

3．黃劉生，唐策善：《《資料結構》》第二版，中國科學技術大學出版社,2000