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一.什麼是直方圖

簡單的說灰度直方圖就是：一幅影象中灰度級與出現這種灰度的概率之間關係的圖形，灰度直方圖是一種統計表達，反映了不同灰度級出現的統計概率（個數），其橫座標是：灰度級，縱座標是：出現的個數（概率）。

（1）直方圖的離散函式 h(rk)=nk。其中rk是第K級的灰度值，nk是影象中灰度為rk的畫素的個數。

（2）歸一化直方圖 p(rk)=n

2.直方圖修正的應用

直方圖的修正是以概率論為基礎，常用的方法有：直方圖均衡化、直方圖匹配(規定化)、區域性直方圖處理。

3.直方圖均衡化的背景

在影象處理的過程中，我們注意到：

（1）在暗的影象中，直方圖的灰度量集中在灰度級比較低（灰度值比較小）的那一端。如圖 a 所示。

（2）在亮的影象中，直方圖的灰度量集中在灰度級比較高（灰度值比較大）的那一端。如圖 b 所示。

（3）在低對比度的影象中，直方圖的灰度量具有較窄的範圍，並且集中在灰度級的中部，如圖 c 所示。

（4） 在高對比度的影象中，直方圖的灰度量具有較寬的範圍，並且畫素分佈比較均勻，如圖 d 所示。

圖a圖b圖c圖d

如果一幅影象的畫素傾向於佔據整個可能的灰度級並且分佈均勻，則該影象有較高的對比度，並展示色調的變化很大。最終的效果就是一幅灰度細節豐富且動態範圍較寬的影象。我們需要僅僅依靠輸入影象的直方圖的可用資訊開發出 一個變換函式來自動的實現這種效果。由此我們引出了直方圖的均衡化。

二.直方圖均衡化

基本思想：把原影象變換為在整個灰度範圍內均勻分佈的形式。

目的：尋找一個變換函式實現輸出影象的灰度值能夠在整個範圍內均勻分佈。

考慮連續的灰度值，用變數 r 表示輸入影象的灰度，用 s 表示輸出影象的灰度。r 範圍是 [ 0, L-1]，則函式：

     s = T(r), r 的範圍：[0 , L-1] 

T(r) 滿足的條件：

（1）T(r) 在區間[0 , L-1]嚴格單調遞增函式。

 這個條件保證了輸入影象灰度值高的地方，輸出影象的灰度值也高，不會對原影象的性質反生改變。

（2）當 r 的範圍：[0 , L-1] 時，T(r) 也在[0 , L-1]內。 

這個條件保證原影象和新影象的灰度值範圍一致。

 我們需要引入，。這種情況下，T(r)在區間是一個嚴格單調函式。

在影象處理中，特別重要的變換函式如下形式：

這個函式遵循條件1和條件2。

一幅影象看做是區間 [0,L-1] 的隨機變數。看做隨機變數  r 和 s 的概率密度函式。

由概率論定理知：

得到影象變換後的 s 的PDF

對變換函式兩邊對 r 求導數

把  ds/dr 結果帶入變數 s 的PDF函式，得到

得到ps(s)是一個均勻的概率密度函式，與pr(r)無關。

（2）離散變換

這樣，輸出的影象通過 T( rk )將輸入的灰度級 rk ，對映到輸出影象中灰度級為 sk對應的畫素得到。

例子：

輸出圖形的灰度是sk（K=0,1.2，....7）。

s 值一直是分數，因此我們要近似為整數：

s0 = 1.33≈1 ；s1 =3.08≈3 ；s2= 4.05≈4 ；s3 = 5.67≈6 ；s4 =6.23≈6 ；s5 = 6.66≈7；s6= 6.86≈7 ；s7= 7.00≈7 ；

均衡後得到新的灰度值sk與畫素點個數。

三.直方圖匹配（規定化）

直方圖的均衡化是自動擋額確定變換函式，該函式尋求產生有均勻直方圖的輸出影象。有時候，我們希望處理後的影象具有規定的直方圖形狀，這種用於產生處理後的有特殊直方圖的方法稱為直方圖匹配或者直方圖規定化。

令 s  為一個有如下特性的隨機變數：

接著我們假設有如下性質的 z 變數

由這兩個等式可得 G(z) = T(r)，因此，z 滿足

直方圖的規定化在原理上是簡單的，但是實踐中，共同的困難就是尋找 T(r) 和 G反函式有意義的表示式。幸運的是，在處理離散量時，問題可以大大的簡化。

離散形式直方圖規定化過程

（1）由給定影象的直方圖pr(r)，並尋找直方圖的均衡變換。並把 sk 四捨五入到範圍 [0, L-1]內的整數。

（2）根據，求得變換函式 G 的值，其中pz(zi)是規定的直方圖的值。把G 的值四捨五入到範圍 [0, L-1]內的整數。

（3）對於每一個值Sk，使用②儲存的值尋找相應的Zq值，使G（Zq）最接近Sk，並存儲這些從S到Z的對映。 

例題