主旨

在生理訊號處理中，經常有濾除低頻訊號的需求，例如在分析心率相關問題時排除掉呼吸等因素造成的基線漂移等低頻干擾。在這個場景的工程實踐中，移動平均濾波器由於設計實現簡單，經常被用到。但是移動平均濾波器的頻譜分析缺乏類似於FIR或IIR相關定量資料，在工作中時常憑經驗確定階數，嚴謹性不足。本文試圖採用理論分析+數值計算方法給出移動平均濾波器頻譜的一般規律，用於指導日常工作

程式碼位置

移動平均濾波器介紹

考慮時間上無限長度的輸入訊號 x(n),n=−∞,..,0,1,...∞
移動平均濾波器的輸出為

工程上不可能有無限長度訊號，對於輸入訊號x

數學推導頻譜

考慮輸入訊號為衝擊函式

移動平均濾波器的輸出為

按照傅立葉變換，濾波器頻域響應函式為

其中

上述兩個式子綜合起來，移動平均濾波器的頻率響應可以寫為如下形式

數值計算頻譜特徵

先考察幾個典型階數的濾波器幅度-頻率響應曲線，考慮取樣率為每秒125個點

• m=1, 3階移動平均濾波器
  
• m=10, 21階移動平均濾波器
  
• m=61, 123階移動平均濾波器
  

從上述圖形可以看出，隨著濾波器階數的上升，通帶截止頻率（以3dB功率點考慮）持續降低，對於3階移動平均濾波器，通帶截止頻率在20Hz附近，而對於123階移動平均濾波器，通帶截止頻率在0.45Hz附近。同時，階數上升對於阻帶的衰減能力也持續上升。

那麼，階數與通帶截止頻率的定量關係如何呢，我們繼續通過數值計算尋找答案。下圖中橫座標為移動平均濾波器階數，縱座標為截止頻率，通過這張圖，可以清楚的看出隨著濾波器階數上升，截止頻率以指數速度降低。

為了工程上便於使用，我將上述曲線儲存成表格，設計移動平均濾波器時根據截止頻率要求查表即可。

結論

移動平均濾波器可以實現低通濾波器的效果，其濾波器截止頻率和衰減特徵雖然不易給出直觀的數學表示式，但是可以通過數值計算給出符合工程應用的表格，用於指導日常工作。