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題意：
將n$n$個相同的小球放入k$k$個不同的箱子，箱子可以為空。假設對於一個方案，cnt[i]$cnt[i]$表示第i$i$個箱子中的小球數，則該方案的價值為：gcd(2Fib[cnt[1]]−1,2Fib[cnt[2]]−1,2Fib[cnt[3]]−1,...,2Fib[cnt[k]]−1)$gcd(2^{Fib[cnt[1]]}-1,2^{Fib[cnt[2]]}-1,2^{Fib[cnt[3]]}-1,...,2^{Fib[cnt[k]]}-1)$，其中Fib[]$Fib[]$為斐波那契數列，問所有方案價值的期望是什麼？

思路：
首先通過打表可以發現：

即一個方案的價值其實等價於求出k$k$個箱子中小球數量的gcd$gcd$，記為g$g$，則方案價值為：

此時可以考慮容斥：
記dp[i]$dp[i]$表示g=i$g=i$的方案數
G[i]$G[i]$表示g$g$為i$i$的倍數的方案數。

顯然g$g$為n$n$的約數
則求解G[i]$G[i]$，本質上是將n/i$n/i$個i$i$分到k$k$個箱子中，箱子可以為空，而此問題是一個經典的組合數學題，由隔板法得：

又由容斥定理，得：

則最終答案為：