卡塔蘭數定義

f(n) = f(0)f(n-1) + f(1)f(n-2) + ... + f(n-1)f(0)

      = f(k-1)f(n-k) k=1...n

以k為軸劃分子問題，左邊子問題的解的個數和右邊子問題的解的個數是原問題以k為軸的解法的2個獨立步驟，適用乘法原理

分別以1，2，。。。n為軸，是原問題的n種解法，適用加法原理。

int cantalan(int n) {
    vector<int> f(n + 1);
    f[0] = 1;
        
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int k = 1; k <= i; k++) //iterate the case k(1..i) as the root
            f[i] += f[k - 1] * f[i - k];
                
    return f[n];
}
 

應用：

1）給定n個括號，求所有合法括號組合數。

劃分辦法：第一個左括號分別和第k個(k=1...n)右括號結合，這樣k左邊有k-1個右括號（也必然有k-1個左括號，因為我們在討論合法組合），解個數f(k-1)， k右邊n-k個右括號，解個數f(n-k)

或者這麼理解劃分：第一個括號裡放k個括號（可以是從0到n - 1)對問題是一個獨立且完備的劃分。f(n) = f(k) f(n -k) k=0..n-1

2）連乘加括號問題

劃分辦法：考慮乘號而不是數，第幾個乘號之前的右括號和最前面的左括號結合。

3）給定一個集合，求可以構造的所有二叉查詢樹的個數：

劃分：分別以每個數為root