卡特蘭數在多種問題下的應用 組合數學-Catalan數
阿新 • • 發佈：2019-01-09
4）排隊順序問題
1】長度為2n的Dyck words有多少種？（Dyck words是由n個X和n個Y組成的字串，其有一個特點：從左往右，對X和Y分別計數，Y的個數始終不大於X的個數。）
轉化思路：可以把X看作入棧，Y看作出棧，Y的個數始終不大於X的個數這一性質正好和空棧無法再出棧相一致，所以Dyck words就等價為出入棧序列。
1.1】2n個高矮不同的人,排成兩排,每排必須是從矮到高排列,而且第二排比對應的第一排的人高,問排列方式有多少種?
轉化思路：2n個人先從矮到高排序，然後挨個被選到第一排或者第二排，如果要滿足題意，當且僅當每挑選完一次之後，第二排中的人數不多於第一排中的人數。
1.2】在一個2*n的格子中填入1到2n這些數值，使得每個格子內的數值都比其右邊和上邊的所有數值都小，有多少種填法？
1.3】有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中n個人只有5元鈔票，n個人只有10元鈔票（必須找零），劇院無其它鈔票，問有多少種買票順序能讓每個人都順利買票？
轉化思路：每來一個5元的人，就能滿足1個10元的人，所以始終要滿足10元的人數不多於5元的人數。
5）正方形網格路徑問題
1】對於一個n*n的正方形網格，每次我們能向右或者向上移動一格，求從左下角到右上角的所有在副對角線右下方的路徑總數。
轉化思路：把一條水平邊標記為+1，垂直邊標記為-1，那麼就組成一個n個+1和n個-1的序列，我們所要保證的是前k步中水平邊的個數不小於垂直邊的個數。
1.1】一位大城市的律師在他住所以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果他從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那麼有多少條可能的道路？
6）將多邊形劃分問題
1】n+2條邊的凸多邊形能劃分成n個三角形，有多少種劃分方法？
轉化思路：首先知道需要加n-1條弦。這裡以邊為研究物件，一共有n+2條邊。加弦的目的是把兩個挨著的邊括起來。那麼這就成了在兩個邊兩側加括號了，n+2條邊要加n對括號。
2】n層階梯劃分為n個矩形，一共有多少種分法？
2】圓桌周圍有2n個人，他們兩兩握手，但沒有交叉的方案數。（每個人最多握一次手）
轉化思路：握手行為是由2個人共同完成的，設定這一行為有主動方（入棧）和被動方（出棧），假設握手行為是根據座次號（1-2n）按時間順序發生的，如果那人是主動方，他會提出握手要求(+1)；如果那人是被動方，他會接受握手要求(-1)。因為握手不能交叉，所以這就成了出入棧序列。
從沒有交叉的圖形角度來看，一旦確定了某個握手行為，握手的雙方就劃分了兩個隔離的部分，這兩個部分內部再進行握手。
2.1】在圓上選擇2n個點，將這些點成對連線起來使得所得到的n條線段不相交的方法數。