卡塔蘭數是組合數學中一個常在各種計數問題中出現的數列。其計算公式是

$$C_n = \frac{C_{2n}^n}{n+1} = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!}, n為自然數$$
由計算公式很容易匯出其遞推公式為 $C_0=1, C_n=\frac{2(2n+1)}{n+2}C_{n-1}$
卡特蘭數列的前四項是1，1，2，5，…

應用：
1. $C_n$表示長度2n的dyck word的個數。Dyck word是一個有n個X和n個Y組成的字串，且所有的字首字串皆滿足X的個數大於等於Y的個數。以下為長度為6的dyck words:
XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY
2. 將上例的X換成左括號，Y換成右括號，Cn表示所有包含n組括號的合法運算式的個數：
((())) ()(()) ()()() (())() (()())
3. $C_n$表示所有在n × n格點中不越過對角線的單調路徑的個數。一個單調路徑從格點左下角出發，在格點右上角結束，每一步均為向上或向右。計算這種路徑的個數等價於計算Dyck word的個數：X代表“向右”，Y代表“向上”。
4. 電影院買票找零問題：有2n個人排隊進電影院，票價是50美分。在這2n個人當中，其中n個人只有50美分，另外n個人有1美元（紙票子）。愚蠢的電影院開始賣票時1分錢也沒有。問：有多少種排隊方法使得每當一個擁有1美元買票時，電影院都有50美分找錢
注：1美元=100美分，擁有1美元的人，擁有的是紙幣，沒法破成2個50美分

證明：
令1表示進棧，0表示出棧，則可轉化為求一個2n位、含n個1、n個0的二進位制數，滿足從左往右掃描到任意一位時，經過的0數不多於1數。顯然含n個1、n個0的2n位二進位制數共有 $C_{2n}^n$個，下面考慮不滿足要求的數目。

考慮一個含n個1、n個0的2n位二進位制數，掃描到第2m+1位上時有m+1個0和m個1（容易證明一定存在這樣的情況），則後面的0-1排列中必有n-m個1和n-m-1個0。為了便於求解不滿足要求的情況（即掃描到某一位時經過的0數多於1數）數，將2m+2及其以後的部分0變成1、1變成0（一一對映，情況數是相等的），則對應一個n+1個0和n-1個1的二進位制數。從而

$$C_n = C_{2n}^n-C_{2n}^{n+1}=\frac{(2n)!}{n!n!}-\frac{(2n!)}{(n+1)!(n-1)!}=(1-\frac{1}{\frac{n+1}{n}})\frac{(2n)!}{n!n!}=\frac{C_{2n}^n}{n+1}$$

參考資料：
1. 維基百科卡特蘭數