在C風格語言中（比如C，C++，C# (注：排名按出生日期 ^_^)），取餘運算子定義為“%”。但在很久很久以前，CPU採用如下方法計算餘數（注意，該方法只對2的N次方數繫有效）：

X & (2^N - 1)

首先從求餘數談起，我們知道，計算機中儲存的方式是0和1序列：

1 0001 2^0

2 0010 2^1

3 0011 2^1 + 1

4 0100 2^2

當我們把這些數字序列左移一位的時候... 是的，你答對了，相當與數字擴大為原來的2倍，同理可知右移一位就是縮小為原來的1/2。

那麼餘數在哪裡？被移掉的那些位便是餘數，這是無數前人的證明結果~可以自己拿筆和紙畫一畫就明白了。

那麼，說了這麼多，為什麼一個求餘的%被替換為：X & (2^N - 1)？

舉例:

9 的二進位制就是1001

8 的二進位制就是1000

顯然餘數是1，按照公式這麼做：

把8的二進位制1000換為8-1也就是7，7的二進位制表示為：0111

1001&0111 = 0001

答案為1與我們想的結果一致。

我們把9換成13，過程你親自來一遍，結果在你沒算錯的情況下必然和我的一樣：0101

但是注意，這種方法只是適合於求一個數除以二的N次冥才正確。

先說原理再說疑問：

原理：

由於除數是2^N （N為0起始遞增的整數），所以隱藏條件就是，除數的2進位制真身只能是如下的方式展現：

0001，0010，0100，1000.。。。。。

沒看出來？那我們繼續：

10000，100000，1000000.。。。。

明白了吧，當我們求餘的時候，相當於除以2的N次冥，也就是相當於把數本身右移N位，但是移走的那些餘數可一去不復返了。（什麼？你說在CF暫存器中？嗯，這是個好注意，也許有另種一實現？！）。有什麼辦法保護這些即將失去的資料呢？

我們把上面的數字減一就發現：

0000，0001，0011，0111，01111，011111，0111111.。。。。。。

如您所見，當和1做位運算時候，得到的結果是那個數的本身。前面例子1001&0111= 0001相當於1001右移三位得到0001，那麼（13）1101右移三位還是0001，這2個0001表示的是商，兩個移走的餘數分別是“001”和“101”，發現特徵了嚒？除以2的N次方就是要儲存被除數即將被移走的低N位。

好了，我知道上面我講的可能不清楚，但是下面才是真正驚險的地方：

2^3=8 然後8表示為1000 有3個零，預示著右移位數，右移位數告訴我們被除數即將被移走幾位，我們如果將這幾位與1按位運算不就能知道這幾位到底是0還是1，也就是能完全儲存到移走的資料，它就是我們期望的餘數。

嗯，我確信看完我的解釋你還在暈眩之中，別管他們，該幹嘛幹嘛，睡完一覺之後我想我的這些話也許會被你的大腦自動解析，你最終也會明白這是怎麼一回事。

嗯，我想說，如果早起電腦都這麼做的話，那麼求一個非2的N次冥的取餘怎麼來實現呢？